Математизация логики ведет свое начало от работ Дж. Буля и А. Де Моргана, в которых логика обрела свой алфавит, свою орфографию и свою грамматику. С этого момента она перестала зависеть от породившего ее естественного языка и получила собственные, адекватные своим особенностям, средства выражения. Для логики началась эпоха письменности — ее конструкции стало возможным наносить на бумагу в виде компактных сочетаний символов, в виде формул, и открылась возможность перерабатывать эти сочетания символов по четко определенным правилам.

Как и изобретение письменности для естественного языка, это знаменовало революцию в развитии. Фактически была осуществлена первая часть мечты Лейбница, и хотя до реализации его главной цели — создания «автоматического рассуждения» — оставался еще огромный путь, одна из главных предпосылок достижения этой цели (в той мере, в которой она вообще достижима) была налицо.

Имя Джорджа Буля (1815—1864) в последнее время стало известно даже людям, далеким от математики и логики. Понятие «булевой алгебры» уже знакомо многим нематематикам и нелогикам, а понятие «булевской переменной» вошло в обиход программистов, операторов и всех, кто пользуется ЭВМ. В этом состоит залог бессмертия имени Буля, поскольку кибернетика будет входить в нашу жизнь все шире (точно так же, когда единицу тока назвали ампером, имени великого французского физика навсегда суждено было войти в языки всех народов — вскоре наступил век электричества). Однако при жизни — да и долго после смерти — профессор математики из ирландского города Корка Джордж Буль, автор основополагающих для математической логики трудов «Математический анализ логики» (1847) и «Исследование законов мысли» (1854)^[1] не считался человеком, внесшим большой вклад в науку, и его имя было известно лишь узким специалистам.

Такое непризнание заслуг Буля объясняется очень просто: тема, которой он занимался, стояла в стороне от главной линии развития тогдашней математики.

Историк математики Е. Т. Белл в книге «Творцы математики» объясняет оригинальность работ Буля отчасти объективными причинами — тем, что Буль был «островной» математик, жил и работал в Англии, которая благодаря своему изолированному от континентальной Европы расположению не была особенно подвержена господствовавшей математической «моде». Дальше он пишет следующее: «Фактом является то, что британские математики часто спокойно шли своим собственным путем, занимаясь лишь вещами, интересовавшими их лично, — как может интересовать, скажем, игра в крикет, доставляющая удовольствие, — и, получая от этих занятий полное удовлетворение, свысока смотрели на тех, кто во всю силу своих научных легких оповещает мир о сделанных открытиях. В свое время, в эпоху идолопоклонства перед ньютоновским анализом, эта независимость дорого обошлась британской школе, но теперь, при ретроспективной оценке ее достижений, мы видим, что она внесла гораздо больший вклад в математику, чем это случилось бы, если бы она рабски копировала континентальную науку»^[2]. Эти слова, возможно, раскрывают причины самостоятельности научных поисков Буля. Его оторванность от континентальной математики дала ему лишнюю возможность, не сосредоточивая главного внимания на задачах дифференциального и интегрального исчисления (которые тогда считались основными задачами всей математики), глубоко задуматься над конструкциями логики. Джордж Буль обратился к «вечной теме» логики познания, связанной с реальнейшей из реальностей — с конструкциями естественного языка: к выделению из языка логических схем для того, чтобы затем воплотить их тоже во вполне реальные объекты — таблицы, алгебраические формулы.

Можно усмотреть элемент везения в том, что Буль оказался профессором не Берлинского или Парижского университета, а университета небольшого ирландского городка. Если заниматься постоянно задачами, которыми занято большинство, то кому же создавать новые области знания? Правда, не все те, кто жил в захолустном Корке или в других подобных местах, создали новую область науки, но ведь были же такие «люди из захолустья», как Циолковский и Лобачевский...

Мы не даром вспомнили Лобачевского. Труд Буля явился одним из важных путей расширения рамок математики, постановки новых задач и появления у нее новых обязательств по отношению к другим сферам знания. Такой же значительный вклад сделали еще раньше Н. И. Лобачевский (1792—1855) и У. Р. Гамильтон (1805—1865). До начала XIX века математику рассматривали как прямое отражение свойств реальных вещей. Лобачевский и Гамильтон первыми в истории науки создали математические структуры, не «скопированные» непосредственно с каких-либо известных всем явлений, отношений или процессов. Такая самостоятельность формирования математических структур в то время выглядела столь непривычной, что сами их создатели были немало смущены собственными творениями и могли бы произнести слова, которые позже сказал Г. Кантор: «Вижу, но не верю».

Лобачевский, как известно, построил геометрию, в которой на плоскости через каждую точку можно провести две прямые, параллельные данной прямой, и бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с данной прямой. В этой геометрии сумма углов треугольника оказывалась меньше 180 градусов. Поскольку геометрию в те времена считали наукой об измерениях твердых тел и расстояний, и этого же взгляда придерживался сам Лобачевский, он полагал, что его система окажется «неверной», если реальные прямые линии — скажем, световые лучи — не будут подчиняться ее законам. Для сравнительно небольших масштабов хорошо подходит обычная (эвклидова) геометрия: самое тщательное измерение, произведенное над треугольником, начерченным на бумаге, показывает, что сумма его углов составляет 180 градусов. Но может быть, думал Лобачевский, это лишь следствие неточности измерения, результат того, что мы с нашими инструментами не можем обнаружить небольшую недостачу суммы углов. Возможно, если измерить углы громадного треугольника, со сторонами в миллионы километров, выяснится, что в таких масштабах начинает уже явно действовать новая геометрическая система, и, следовательно, завоевывает свое право на жизнь новый вариант пятого постулата Эвклида. Чтобы проверить свою геометрию, Лобачевский собирался провести серию астрономических наблюдений.

С таким же психологическим барьером было связано создание Гамильтоном кватернионов. Гамильтон искал аналог комплексных чисел, интерпретируемый в трехмерном пространстве (обычные комплексные числа изображаются точками на плоскости). Он искал такие числа в течение пятнадцати лет, но безрезультатно. Это стало для него некой навязчивой идеей (говорят, что его домашние каждое утро спрашивали его за завтраком: «Ну как, нашел ты свои кватернионы?»). И вот, 16 октября 1843 года во время прогулки Гамильтона озарила неожиданная идея: все трудности возникали из-за того, что в течение всех этих поисков он постоянно предполагал, что операция умножения новых чисел должна подчиняться закону коммутативности, то есть, что для них, как и для обычных комплексных (и, конечно, действительных) чисел справедливо утверждение: от перестановки сомножителей произведение не меняется. А кто сказал, что этот закон универсален, обязателен для всех типов чисел? Когда требование коммутативности умножения было снято, работы осталось на несколько минут. Собственно, основные расчеты, связанные с построением системы кватернионов, были сделаны тут же, в уме (Гамильтон написал основную формулу на граните моста, по которому в тот момент проходил с женой). Сконструировав кватернионы, Гамильтон смотрел на них с тем же удивлением, с каким Лобачевский смотрел на свою геометрию: ведь все известные вычислительные процессы коммутативны, чему же «подражают» эти странные числа? Их поведение, вероятно, выглядело тогда просто мистическим.

Сейчас, по прошествии почти полутора сотен лет, чувства Лобачевского и Гамильтона могут показаться наивными. Но нельзя упускать из вида, что с тех пор произошло коренное изменение во взгляде на роль и место математики в системе человеческого знания. В наши дни математика обязана не только строить формализованные модели каких-то явлений, уже известных физике, биологии или другим областям знания, но и заготавливать формальные структуры впрок, для возможного использования в будущем. Теперь математик зачастую совершенно не интересуется, соответствует ли его конструкция чему-то уже познанному в окружающем мире. Им движет в основном стремление усовершенствовать математику не как аппарат для описания чего-то, а как аппарат вообще. Он ищет возможности Для выявления новых связей между отраслями математики, для укорочения уже существующих связей, для упрощения теорий, для придания им компактности и ясности