? Игра 27. Бездельник.

Эта игра на рынке есть. Она имеет вид дощечки, в которую продето n гвоздей, скользящих через соответствующее отверстие, причем концы гвоздей расплющены и в каждом просверлено отверстие, в которое продето кольцо. Вы безусловно можете изготовить все это сами, используя достаточно толстые гвозди (диаметром порядка четырех миллиметров). Пропустите гвоздь в отверстие в 5 миллиметров в дощечке, а затем расплющите острие молотком. Просверлите головку наконечника, образовавшуюся у конца гвоздя, и вставьте туда кольцо для ключей. Каждое кольцо должно проходить вокруг предыдущего гвоздя. Трудность игры зависит от n. Для n = 6 она довольно быстро приходит к концу. Для n = 8 она требуем долгих минут. Она почти невыполнима, если n больше восьми.

Через кольца проходит челнок, длинный замкнутый контур, представленный на рисунке. Дело в том, чтобы его вынуть и, таким образом, освободить от колец (рис. 17).

Первое, что нужно сделать — это научиться, как пропускать одно кольцо через челнок, или как его оттуда вынуть. Несколько манипуляций — и вы быстро убеждаетесь, что в какой стадии ни была бы игра, всегда можно надеть или снять первое кольцо, которое свободно (не проходит вокруг какого-либо гвоздя). Можно также освободить кольцо, которое следует за первым занятым кольцом (если оно проходит вокруг челнока), или одеть его на челнок, если оно не одето. Таким образом, игру «бездельник» можно заменить равносильной игрой, которую легче представить на компьютере.

Эта игра ведется на таблице, разделенной на несколько полей (8 полей на рисунке). В начальном состоянии каждое поле покрыто шашкой. Поля размечены цифрами. Играть на данном поле — значит, поставить туда шашку, если поле пусто, и удалить шашку, стоящую на этом поле — в противоположном случае. Правила игры следующие:

— можно всегда играть на первом поле,

— можно играть на поле, которое следует за первым занятым полем.

Есть две возможных игры:

НАДЕВАТЬ: игровое поле вначале пусто. Заполнить все поля.

СНИМАТЬ: игровое поле вначале наполнено шашками на каждой клетке. Нужно все убрать,

Эта задача имеет очень элегантное рекурсивное решение. Но если вы немного подумаете, то вы сможете также найти очень простое итеративное решение, причем игра НАДЕВАТЬ оказывается более простой, чем игра СНИМАТЬ.

Вот другая интерпретация этой игры — для тех, кто любит арифметику. Вы можете считать, что каждое поле может принимать два состояния (свободное и занятое), что эквивалентно двоичным числам — например, 0 для свободного и 1 для занятого полей. Тогда каждая конфигурация является представлением целого числа по основанию 2. Таким образом, рис. 18 представляет целое число 11111111 в качестве начального состояния и 01011011 в качестве промежуточного состояния. Ниже нам будет удобно читать эти слова в обратном порядке, так что в этих новых обозначениях промежуточное состояние соответствует двоичному числу 11011010.

Ясно, что эта игра порождает последовательность чисел (в приведенном выше примере число равно 218 в десятичной записи). При переходе от одного числа к следующему меняется лишь одна двоичная цифра. Можете ли вы сказать, какая последовательность порождается таким образом в каждой из игр?

?* Игра 28. Зануда,

Эта игра называется также «игра в лягушек». У нее была версия, использованная в материалах лицеев, но в ней было не все, что я вам сейчас предлагаю. Игровое поле снова имеет вид прямоугольной площадки, разделенной на поля. Число полей должно быть нечетным (9 на рис. 19). Поля слева покрыты шашками некоторого цвета (я представил их ноликами), поля справа — шашками другого цвета (здесь — крестиками). Среднее поле свободно. Крестики могут передвигаться только влево, нолики — только вправо. Шашка может быть либо подвинута на один шаг, если следующее поле в направлении ее перемещения свободно, либо перепрыгнуть через шашку другого рода, если следующее за ней поле свободно. Рисунок 20 иллюстрирует два возможных хода в партии с начальным положением на рис. 19.

Цель игры состоит в том, чтобы привести все X влево, а все 0 вправо, так что конечное состояние должно быть похоже на начальное, и шашки должны поменяться местами (крестики справа, нолики слева).

Программа, которую вы должны составить, должна описывать последовательность перемещений шашек для произвольного (но, конечно, нечетного) числа полей. Вы можете получить решение в виде пары рекурсивных процедур или в виде одной итеративной программы. Как только вы найдёте стратегию, зануда не будет больше представлять никакого интереса. Как это случилось с теми, с кем я занимался на Митра 15, в лицее, требуя, чтобы игрок сидел за своей клавиатурой и переставлял шашки. Но если не знать стратегии и действовать случайным образом, то выиграть нельзя вследствие теоремы Дюнойе: «Если какой-то выбор вы делаете случайным образом, то вы всегда проигрываете». Это нам постоянно повторял наш учитель математики, когда я был в подготовительном классе Политехнической школы. Мы придумали следствие: поскольку мы всегда проигрываем при случайном выборе, то достаточно после этого выбора выбрать другую сторону альтернативы. Но это дает выход из парадокса Дюнойе (я совершенно не знаю, кто такой Дюнойе. Это — существенный момент истории науки, который следовало бы прояснить. Всегда цитируют Мэрфи и его знаменитые законы: если в некотором опыте что-то может разладиться, то можно быть уверенным, что это обязательно произойдет. Если, кроме того, при этом в комнате есть посторонний наблюдатель, то он прибавит «ну, я же так и говорил…». Дюнойе — предшественник Мэрфи), Вот в чем парадокс. Есть альтернатива. Вы выбрали случайным образом и обманулись. Следовательно, если вы взяли другую сторону альтернативы, то вы оказались правы. Но это — тоже случайный выбор, поэтому вы опять обманулись…

?* Игра 29. Б — А — БА.

Эта игра вовсе не потому самая простая среди всех игр этого сорта, что она называется б—а—ба. Согласно [BAL], она имеет японское происхождение. Ее можно сформулировать следующим образом. Игра разыгрывается на площадке, разделенной на клетки, на этот раз в четном числе. Есть шашки двух сортов, скажем, крестики и нолики — как в «зануде». В начале игры два левых поля свободны, остальные заняты поочередно 0 и X, как указано на рис. 21. При каждом ходе вы можете переместить пару смежных шашек, перенося ее на пару смежных свободных клеток. Вы выиграете, когда все X будут вместе стоять на левых полях, затем будут нолики, а два правых поля останутся свободными.

Можно также представить это другим способом. Свободные поля представляются точками (рис. 22), остальные заняты буквами а и б (вот вам и б — а — ба).

Пара шашек, которая переносится при данном ходе, абсолютно произвольна: две одинаковых буквы, две разных буквы, все равно в каком порядке…

Начните с решения задачи для 8 букв и 10 полей, как на рисунке. Это очень просто и у вас нет необходимости » компьютере. Попробуйте затем решить ее для бо́льшего числа полей.

Честно говоря, я соответствующую программу не написал, потому что ее использование на компьютере меня ничему новому не научило бы. То, что здесь приведено, подходит программисту, который на что-то рассчитывает. Если у вас есть склонность к программированию, то вы найдете способ решить задачу для всех случаев,

* Игра 30. Отшельник.

Может быть, мне и не следовало бы помещать «Отшельника» в эту главу, Классификация игр полностью основана на оттенках и на индивидуальных оценках. Я провел немало времени в забавах с «Отшельником», но все же верно, что едва только удается обнаружить хорошую стратегию, как интерес уменьшается. Возможность его программирования связана с улучшениями. «Отшельник» разыгрывается на площадке с проделанными в ней отверстиями, в которых могут быть размещены шашки. Но можно также использовать доску, на которой нарисованы поля, а можно также все это очень хорошо нарисовать на земле и использовать камешки в качестве шашек — точно так же, как я рассказывал при игре в лис и кур. Впрочем, может оказаться, что «отшельник» был изобретен каким-нибудь знатным французом, заключенным в Бастилию, который модифицировал игру в лиси кур.