Мое мнение таково: несмотря на то, что генетический метод имеет высокое педагогическое и эвристическое значение, все же для окончательного оформления и полного логического обоснования содержания нашего познания предпочтительнее аксиоматический метод. (С. 315-316)

<...> При исследовании основ геометрии можно было обойти некоторые трудности чисто арифметической природы; но при обосновании арифметики ссылка на другую основную дисциплину становится уже недопустимой. Я смогу с большей четкостью выявить те существенные трудности, которые встречаются при обосновании арифметики, если я подвергну краткому критическому разбору взгляды отдельных исследователей.

Л. Кронекер, как известно, усматривал в понятии целого числа коренной фундамент арифметики; он составил себе мнение, что целое число, и притом как общее понятие (значение параметра), должно существовать прямо и непосредственно; это мешало ему познать, что понятие целого числа нуждается в обосновании и может быть обосновано. Поскольку это так, я позволю себе назвать его догматиком: он воспринимает целое число с его существенными свойствами как догму, и затем уже не оглядывается назад.

Г. Гельмгольц представляет точку зрения эмпирика; однако точка зрения чистого опыта опровергается, как мне кажется, указанием на то, что из опыта, т.е. посредством экспериментов, никогда нельзя прийти к заключению о возможности или существовании сколь угодно большого числа, ибо число предметов, являющихся объектом нашего опыта, даже если оно велико, все же не превосходит некоторого конечного предела.

Э.Б. Кристоффеля и всех тех противников Кронекера, которые под влиянием правильного чувства, подсказывавшего им, что без понятия иррационального числа весь анализ оказывается осужденным на бесплодие, пытались спасти существование иррационально го числа путем отыскания «положительных» свойств этого понятия или другими аналогичными способами, — я позволю себе назвать оппортунистами. Однако опровержение точки зрения Кронекера, по моему мнению, ими, по сути дела, не было достигнуто.

Из ученых, которые глубже проникли в существо понятия «целое число», я упомяну следующих:

Ж.Фреге ставит себе задачу обосновать законы арифметики средствами логики, понимая эту последнюю в обычном смысле. Его заслугой является правильное понимание существенных свойств понятия «целое число», а также значение полной индукции.

Но, проводя последовательно свою точку зрения, он среди прочих положений принимает и тот основной закон, согласно которому понятие (множество) определено и может быть непосредственно применено, если только относительно каждого объекта известно, подпадает ли он под это понятие или нет: при этом он не налагает никаких ограничений на понятие «каждый» и, таким образом, оказывается под ударами тех теоретико-множественных парадоксов, которые заключаются, например, в понятии множества всех множеств и которые показывают, как мне кажется, что толкования и средства исследования логики, понятые в обычном смысле, не в состоянии удовлетворить тем строгим требованиям, которые ставит теория множеств. Устранение подобных противоречий и объяснение этих парадоксов следует с самого начала рассматривать как главную цель при исследованиях, касающихся понятия числа.

Р. Дедекинд ясно осознал те математические трудности, которые встречаются при обосновании понятия числа, и весьма проницательно начал с построения теории целого числа. Все же его метод я позволю себе постольку назвать трансцендентальным, поскольку он доказывает существование бесконечного путем, основная идея которого используется таким же образом и философами; этот путь я, однако, не могу признать удобопроходимым и надежным, так как при этом приходится пользоваться понятием совокупности всех вещей, а в этом понятии кроется неизбежное противоречие.

Г. Кантор чувствовал упомянутое противоречие, и это его чувство нашло свое выражение в том, что он различал «консистентные» и «неконсистентные» множества. Но так как Кантор не установил, по моему мнению, никаких строгих критериев для этого различия, то я его точку зрения по этому пункту должен характеризовать как оставляющую еще широкое поле для субъективного мнения и не дающую поэтому никакой объективной уверенности.

Я придерживаюсь того мнения, что все затронутые трудности могут быть преодолены и что можно прийти к строгому и вполне удовлетворительному обоснованию понятия числа и притом с помощью метода, который я называю аксиоматическим. (С. 322-324)

С давних пор никакой другой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечном; бесконечное действовало на разум столь же побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея; однако ни одно другое понятие не нуждается так сильно в разъяснении, как бесконечность.

Обращаясь к задаче о выяснении сущности бесконечного, мы должны по возможности кратко представить себе, какое содержательное значение соответствует бесконечному в действительности; мы посмотрим сначала, что нам дает в этом отношении физика.

Первым наивным впечатлением, производимым явлениями природы и материей, является впечатление чего-то непрерывного, континуального. Если мы имеем перед собою кусок металла или некоторый объем жидкости, то нам навязывается представление о том, что они неограниченно делимы, что сколь угодно малый кусок их опять-таки обладает теми же свойствами. Но повсюду, где методы исследования в физике материи достаточно усовершенствованы, мы наталкиваемся на границы этой делимости, которые лежат не в несовершенстве нашего опыта, а в природе самой вещи, так что можно было бы прямо-таки воспринимать тенденцию современной науки, как освобождение от бесконечно малого; теперь можно было бы старому тезису «natura non facit saltus» (природа не делает скачков) противопоставить антитезу: «природа делает скачки».

Известно, что вся материя составлена из маленьких кирпичиков — из атомов, и что их комбинации и соединения образуют все многообразие макроскопических веществ.

Однако физика не останавливается перед учением об атомном строении материи. Рядом с ним в конце прошлого столетия выступает, сначала очень непривычно действующее, учение об атомном строении электричества. В то время как раньше электричество считалось жидкостью и было примером непрерывно действующего агента, теперь оказалось, что и оно построено из положительных ядер и отрицательных электронов.

Помимо материи и электричества, в физике имеется еще и другая реальность, для которой также имеет место закон сохранения, именно — энергия. Но, как установлено теперь, и энергия не допускает простого и неограниченного деления на части: Планк открыл кванты энергии.

И каждый раз получается тот итог, что однородный континуум, который должен был бы допускать неограниченное деление и тем самым реализовать бесконечное в малом, в действительности нигде не встречается. Бесконечная делимость континуума — это операция, существующая только в человеческом представлении, это только идея, которая опровергается нашими наблюдениями над природой и опытами физики и химии.

Второй раз мы наталкиваемся в природе на вопрос о бесконечности при рассмотрении Вселенной в целом. Мы должны теперь исследовать протяженность Вселенной, чтобы узнать, нет ли здесь бесконечно большой величины.

Мнение, что Вселенная бесконечна, долгое время господствовало: до Канта и даже после него вопрос о бесконечности Вселенной не вызывал никаких сомнений.

Но опять-таки современная наука, и в частности астрономия, подняла этот вопрос сызнова и попыталась решить его не с помощью недостаточных методов метафизического умозрения, а на основах, опирающихся на опыт и покоящихся на применении законов природы. При этом выявились веские возражения против бесконечности. Предполагать, что пространство бесконечно, вынуждает нас геометрия Евклида. Хотя геометрия Евклида и является системой понятий, не противоречивой в самой себе, но отсюда, однако, еще не следует, что она выполняется в действительности. Имеет ли это место — это может решить только наблюдение и опыт. При попытках умозрительно показать бесконечность пространства вкрадывались также и очевидные ошибки. Из того факта, что вне какого-либо куска пространства всегда снова имеется пространство, следует только неограниченность пространства, а не его бесконечность. Но понятия неограниченность и конечность не исключают друг друга. Математические исследования дают нам так называемую эллиптическую геометрию — естественную модель конечного мира. Отказ от евклидовой геометрии является теперь не только чисто математическим или философским умозрением, но мы пришли к этому отказу также и с другой стороны, которая первоначально не имела ничего общего с вопросом о конечности Вселенной. Эйнштейн показал необходимость отойти от геометрии Евклида. На основании своей гравитационной теории он берется и за космологические вопросы и показывает возможность конечности Вселенной, причем все найденные астрономами результаты вполне согласуются с предположением об эллиптическом мире. (С. 341-343)