<...> Возможно, предложенная здесь постановка вопроса все еще слишком односторонняя, слишком антропоморфно окрашенная, чтобы ее можно было применить для удовлетворительного построения новой физической картины мира, и нужно искать другую. Во всяком случае здесь предстоит решить еще много сложных проблем, прояснить еще много темных мест.

Ввиду этого особенно трудного положения, в котором в настоящее время оказалось теоретико-физическое исследование, не легко освободиться от чувства сомнения в том, действительно ли теория с ее радикальными новшествами находится на правильном пути. Решение этого рокового вопроса зависит только и единственно от того, в достаточной ли мере при беспрестанно продвигающейся вперед работе над физической картиной мира сохраняется необходимый контакт между физической картиной мира и миром ощущений. Без этого контакта даже самая совершенная по форме картина мира была бы не чем иным, как мыльным пузырем, который может лопнуть при первом же порыве ветра.

К счастью, по меньшей мере сегодня мы можем быть полностью спокойны в этом отношении. Да, мы можем без преувеличения утверждать, что еще никогда прежде в истории физики теория не шла так тесно рука об руку с экспериментом, как в настоящее время. Именно экспериментальные факты расшатали классическую теорию и привели ее к падению. Каждая новая идея, каждый новый шаг продвигающегося на ощупь исследования возникают под непосредственным воздействием результатов измерений. Как у истоков теории относительности находился опыт с интерференцией света Майкельсона, так у истоков квантовой теории находятся измерения Луммера и Прингсхейма, Рубенса и Курльбаума по спектральному распределению энергии, Ленарда по фотоэлектрическому действию, Франка и Герца по электронным соударениям. Нас бы слишком далеко увело, если бы я стал здесь вспоминать все многочисленные, частично совершенно поразительные результаты опытов, которые уводили теорию все дальше от классической точки зрения, указывая на совершенно определенный путь.

Мы можем только надеяться и желать, чтобы эта единодушная совместная работа, в которой принимают участие все страны, мирно соревнуясь друг с другом, никогда не прекращалась. Ибо постоянное взаимодействие между экспериментальным и теоретическим исследованиями, всегда являющееся одновременно стимулом и контролем, также и в будущем останется самой надежной, единственной гарантией успешного прогресса физической науки.

Куда он нас приведет? Уж в своем вводном слове я имел возможность подчеркнуть, что двоякая цель исследования — с одной стороны, совершенное овладение миром ощущений, с другой стороны, совершенное познание реального мира — остается принципиально недостижимой, но было бы абсолютно неверным рассматривать это обстоятельство как повод для разочарования. Слишком уж много достигнуто явных успехов как практического, так и теоретического характера — успехов, которые ежедневно множатся. И, возможно даже, у нас есть все основания рассматривать нескончаемость этого вечного кругового движения вокруг манящей из недоступной высоты пальмы как особое счастье для пытливого человеческого духа. Ибо благодаря этому беспрестанному движению оба его стимула — вдохновение и благоговение. (С. 588-589)

Д. Гильберт (Хильберт) (Hilbert) — немецкий математик и логик, разработал программу обоснования математики, названную формализмом.

Гильберт — иностранный член-корреспондент (1922) и иностранный почетный член (1934) АН СССР, лауреат Международной премии имени Н.И.Лобачевского (1904). Его работы в различных областях математики, логики и оснований математики оказали значительное влияние на развитие математического познания в целом. В 1900 году на Международном конгрессе математиков в Париже им сформулированы 23 проблемы, которые на многие годы вперед определили направления исследований в области математики. Первые значительные результаты были получены Гильбертом в области теории инвариантов (1888). В дальнейшем он увлеченно и продуктивно занимался алгеброй и теорией чисел. С конца 1890-х годов в центре внимания Гильберта проблемы математического анализа (глубокие исследования по вариационному исчислению) и геометрии (создание аксиоматики). Последние годы своей жизни он занимался математической логикой. Программа обоснования математики путем ее полной формализации, которую разрабатывал Гильберт, оказалась нереализованной. Однако дальнейшая разработка логических оснований математических теорий во многом пошла по пути, который был им намечен.

Гильберт был разносторонним ученым, которому не чужды проблемы смежных с математикой наук. Он много занимался проблемами теоретической физики, в которой нашел практические применения теории интегральных уравнений, а в одной из своих работ очень близко подошел к общей теории относительности Эйнштейна. Его деятельность, по словам известного французского математика Ж. Дьедонне, нашла свое отражение даже в таких теориях, которые он сам никогда не разрабатывал. Она была примером аксиоматического мышления, стремления к логической строгости и взыскательной честности, воплощением идеала настоящего математика.

Среди наиболее важных работ, изданных на русском языке, можно назвать «Основания геометрии» (М.;Л., 1948), «Основы теоретической логики» (в соавт. с В. Аккерманом. М., 1947), «Наглядная геометрия» (в соавт. с С. Кон-Фоссеном. М, 1979), «Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики» (в соавт. с П. Бернайсом, 2-е изд. М., 1979), «Основания математики. Теория доказательств» (в соавт. с П. Бернайсом, М., 1979).

Б.Л. Яшин

Фрагменты даны по кн.:

Гильберт Д. Основания геометрии. М.;Л., 1948.

Просматривая и сравнивая между собою многочисленные работы, посвященные принципам арифметики и аксиомам геометрии, мы, наряду с многочисленными аналогиями и случаями сходства между этими двумя предметами, замечаем, однако, и существенное различие в отношении метода исследования.

Припомним сначала, каким путем вводится понятие числа. Исходя из числа 1, обычно представляют себе что в процессе счета возникают следующие за ним целые рациональные положительные числа 2, 3, 4,... и развиваются законы счета с ними; затем приходят, опираясь на требование выполнимости вычитания во всех случаях к отрицательным числам; далее определяют дробные числа как пары чисел; в результате каждая линейная функция имеет корень, и, наконец, определяют действительное число как сечение или как фундаментальную последовательность, в силу чего всякая рациональная меняющая знак функция и вообще всякая непрерывная меняющая знак функция обращается где-либо в нуль. Этот метод введения понятия числа мы можем назвать генетическим методом, так как наиболее общее понятие действительного числа развивается в нем из простого понятия о числе путем последовательных обобщений.

Существенно иначе поступают при построении геометрии. Здесь обычно исходят из предположения о существовании всех элементов, т е. заранее предполагают, что существуют три системы вещей, а именно точки, прямые и плоскости, и затем, в существенном по примеру Евклида, устанавливают между этими элементами взаимоотношения посредством известных аксиом, а именно аксиом соединения, порядка, конгруэнтности и непрерывности. При этом возникает необходимость в доказательстве непротиворечивости и полноты этой системы аксиом, т е. требуется доказать, что применение установленных аксиом никогда не приведет к противоречию и, далее, что эта система аксиом достаточна для доказательства всех геометрических теорем. Избранный здесь способ исследования мы будем называть аксиоматическим методом.

Поставим себе вопрос, действительно ли для изучения понятия числа единственно подходящим методом является генетический метод, а для обоснования геометрии — аксиоматический метод. Представляет также интерес сопоставить друг с другом оба метода и исследовать вопрос о том, какой из этих методов надо будет предпочесть, когда будет идти речь о логическом исследовании основ механики или какой-либо другой физической дисциплины.