Значение развитых Ампером математических методов было как следует оценено только в середине XIX века, когда начало выясняться огромное значение для механики так называемой «теории преобразования».
Эта сложная математическая теория представляет собою один из наиболее глубоких отделов теоретической механики. Как известно, теоретическая механика зиждется на. трех основных законах Ньютона. Первый, из этих законов определяет свойство инерции, состоящее в том, что изолированное от каких-либо внешних воздействий тело движется равномерно и прямолинейно до тех пор, пока на него не действует никакое другое тело. Второй закон выражает связь силы и вызываемого ею ускорения, устанавливая, что ускорение пропорционально силе и направлено с ней по одной прямой. Третий закон гласит о том, что всякое действие силы имеет равное и противоположно направленное противодействие. Эти три закона образуют основу механики. Но ведь механика — наука, которая выражает явления природы в количественной форме и позволяет нам рассчитывать механические свойства механизмов, машин, конструкций. и сооружений. Поэтому если мы воспользуемся этими тремя законами и запишем второй закон в математической форме, что f — mw, где f — сила, действующая на данное тело, m — масса телa, a w — ускорение движения этого тела, то это дает нам возможность решать разнообразные механические задачи. Конечно, для решения сложных задач, в которых движение тел изменяется непрерывно и налицо ряд усложняющих условий, мы должны придать этому уравнению более сложную форму, воспользовавшись дифференциальным исчислением. Тогда мы получим основное уравнение механики в его обычной математической форме. В течение XVIII, XIX и протекшего отрезка XX века ученые разработали значительное количество самых разнообразных математических методов, которые делают механику в высшей степени тонким и гибким способом решения теоретических и практических задач, часто весьма большой сложности. Механика в современном ее виде является одной из прекрасно и многосторонне разработанных наук. В сложной и внутренне связанной системе математически формулированной механики «теория преобразования» является одним из центральных моментов. Эта теория имеет огромное значение не только для механики, но и для других отделов современной физики, как, например, для той части теории атома, которая называется «волновой механикой», для теории относительности, электродинамики и т. п. Таким образом, «теория преобразования» представляет собою вершинную часть теоретической механики, значение которой, простирается и за пределы этой науки. Эту важную область и обогатил Ампер своими научными работами.
Из числа разнообразных математических методов наибольшее значение для решения физических задач имели дифференциальные уравнения в частных производных. Собственно говоря, математическая физика исчерпывалась пятью-шестью типами таких уравнений, но решение их равносильно решению той или иной физической проблемы и представляет значительные математические трудности. Над преодолением этих трудностей бились многие крупнейшие математики. Ампер также представил Французской академии большую работу на эту тему. В этой работе он дал целый ряд методов и теорем, которые вошли составным элементом в теорию дифференциальных уравнений в частных производных.
Уже перечисленного достаточно, чтобы увидеть, насколько солидны заслуги Ампера в области математики. Но кроме этих работ, он опубликовал еще несколько математических исследований, и в электродинамике дал неувядаемый образец применения математики к физическим проблемам.
Мы не имеем возможности излагать здесь содержание чисто математических работ Ампера. Они относятся к весьма отвлеченным и тонким отраслям математического анализа. Отметим лишь, что они имели весьма большое значение в развитии высшей математики.
Именно в качестве математика Ампер был выбран в члены Французского института — этого высшего ученого учреждения Франции. До 1789 года во Франции было пять отдельных академий. Конвент вынужден был упразднить их «как учреждения аристократического характера, позорящие науки и ученых».
В 1795 году Директория учредила Национальный институт наук и искусств, который должен был «совершенствовать науки и искусства». Пять отделений Института получили уже при Людовике XVIII название академий. Выборы новых членов производились по освобождении мест за смертью членов академии.
В то время по разделу математических наук членами Института являлись: Лагранж, Лаплас, Лежандр, Боссю и ряд других.
В 1813 году умер Лагранж. 11 апреля 1813 года Ампер пишет Бредену: «Мне сообщили о смерти Лагранжа… Итак, вот вакантное место в Институте… Мне нужно будет выступить в качестве соискателя… Нужно будет сделать целых шестьдесят визитов… Я буду день и ночь работать над мемуаром. Скажи об этом Балланшу и Депре, но больше никому, чтобы мне не оказаться лишний раз посмешищем».
Двадцать третьего апреля он уезжает в инспекторское турне, а 30 апреля узнает о полном провале своей кандидатуры. Он получил всего один голос, остальные голоса достались конкурировавшему с ним Пуансо. Эту неудачу Ампера можно объяснить не только тем, что заслуги Пуансо перед наукой в то время были, может быть, более значительны, чем заслуги Ампера, но также и причинами политического порядка.
Наполеон, этот дальновидный деспот, по-своему покровительствовал наукам. Еще во время Директории его избирают членом Института. Во время V Египетского похода он гордо отмечает в заголовке своих прокламаций: «Бонапарт, главнокомандующий, член Института», и позже в статьях прихода своего цивильного листа Наполеон на первом месте помещает: «Жалованье его величества императора и короля в качестве члена Института— 1500 франков». Прекрасно отдавая себе отчет в роли и значении науки в развитии капиталистического производства, Наполеон умело использует ее и направляет в духе своей экономической политики. Стендаль справедливо замечает, что «в ту эпоху какой-нибудь аптекарский ученик, копошась в своих пилюлях и пробирках в задней комнате магазина, думал про себя, скатывая пилюли и фильтруя жидкости, что если бы он сделал какое-либо открытие, то мог бы стать графом с 50 тысячами ливров дохода».
В 1813 году двадцать три члена Института заседают в сенате. Зоолог Ласепед — великий канцлер «Почетного легиона» и пятьдесят шесть кавалеров, баронов, графов и князей, получивших эти титулы от императора, являются членами Института. Ампер же остается в стороне от всего этого потоку почестей и золота. Это находит свое объяснение как в его изолированной, замкнутой, оторванной от реальной политики жизни, так и в его антибонапартистских настроениях, которые, несмотря на его крайнюю осторожность в политических высказываниях, были хорошо известны наполеоновской полиции.
Только в 1814 году, уже после падения Бонапарта, Ампер избирается в члены Института на место умершего Боссю.
Хлопоты, связанные c избранием, отнимают у Ампера много времени. Он пишет: «Я бодрствовал большую часть ночей, чтобы приготовиться к моему курсу, тогда как дни проходили в визитах членам Института, в приготовлении заметок и извлечений из моих работ, необходимых для того, чтобы сделать очевидными мои права на избрание в члены Института».
Избранный 28 ноября 1814 года в первом туре голосования, он тотчас же пишет Бредену: «Все так сложилось, что я могу быть на мгновение счастлив; но сколько к этому примешивается сожалений…» И далее в следующем письме: «Когда я был неуверен «в своем избрании, я переходил от страха к надежде, был занят расчетами и визитами. Теперь я сам упал с высоты и ничего больше не вижу в жизни… Я надеюсь встряхнуться и работать с прежним пылом… сперва над математикой, а затем над психологией, где, мне кажется, я разрешил важные проблемы».
Итак, Ампер — член Института, академик. Новые успехи радуют его. Он читает ряд лекций в Athenee — учреждении, где объединились ученые, читающие публичные, но неофициальные курсы лекций. Ампер читает лекции по математике и философии, которые проходят вполне успешно, заботится о семье, опорой и единственной поддержкой которой он является.