Высказывалось мнение, что почтение, питаемое некоторыми учеными к колоколообразной кривой, поощряет небрежность в работе. Из нашего примера с квинканксом мы видели, что случайные ошибки распределены нормально. Так что чем больше случайных ошибок мы сможем внести в измерение, тем более вероятно, что данные будут описываться колоколообразной кривой — даже если измеряемые явления сами по себе не распределены нормально. Когда же нормальное распределение обнаруживают в наборе данных, причина этого может состоять просто в том, что измерения делались недостаточно тщательно.

Что и возвращает нас к багетам. Действительно ли их веса были распределены нормально? Был ли хвост распределения узким или широким? Как вы помните, я взвесил в общей сложности 100 багетов. Результаты продемонстрировали определенные обнадеживающие тенденции: среднее оказалось равным примерно 400 граммам, а разброс был более или менее симметричным — между 380 и 420 граммами. Если бы я был неутомим в той же степени, что и Анри Пуанкаре, я продолжил бы эксперимент и взвешивал багеты в течение года, получил бы 365 (плюс-минус несколько штук с учетом тех дней, когда пекарня закрыта) весов, которые мог бы сравнивать. При наличии большего объема данных характер распределения был бы яснее. И тем не менее моя скромная выборка оказалась достаточной, чтобы примерно представить себе, как формируется результат. Я использовал трюк, состоящий в «сжатии» полученных данных: нарисовал график, на котором сгруппировал багеты по весу со шкалой не в 1 грамм, а в 8 граммов. Вот что у меня получилось:

Нарисовав это, я почувствовал облегчение, поскольку и в самом деле было похоже, что в моем эксперименте с багетами веса укладываются на колоколообразную кривую. Но при ближайшем рассмотрении оказалось, что график вовсе не является колоколообразной кривой. Да, веса группировались вокруг среднего значения, но кривая с очевидностью не обладала симметрией. Левая ее сторона оказалась не такой крутой, как правая, словно какой-то невидимый магнит немного вытягивал кривую влево.

Отсюда следовало два возможных вывода. Или веса багетов от «Греггса» не распределены нормально, или же они распределены нормально, но в ход моего эксперимента вкралась какая-то систематическая ошибка. У меня были определенные соображения, что это могла быть за ошибка. Несъеденные багеты скапливались у меня на кухне, и теперь я решил взвесить один из них. К моему удивлению, в нем был всего 321 грамм — существенно меньше, чем самый малый из весов, что появлялся в ходе моего эксперимента. И тут меня осенило: вес багета — величина не постоянная, багет становится легче по мере высыхания! Я снова отправился в магазин и выяснил, что багет теряет около 15 граммов веса за время от 8 утра до полудня.

Мне стало ясно, что мой эксперимент далеко не идеален. Я не учитывал время дня, в которое осуществлял свои измерения. Вне всякого сомнения, именно это внесло систематическую ошибку в распределение весов. Чаще всего я приходил в магазин к открытию и взвешивал свой хлеб около 8:10 утра; но иногда я вставал поздно. Эта случайная переменная не распределена нормально, потому что среднее время попадает куда-то между 8 и 9 утра, но нет никакого хвоста, описывающего период до 8 утра, поскольку магазин в это время еще закрыт. Зато с другой стороны хвост тянулся до самого обеда. И тогда мне пришло в голову кое-что еще. А как обстояло дело с окружающей температурой? Я начал свои опыты в начале весны, а закончил их в начале лета, когда стало существенно теплее. Я взглянул на цифры и обнаружил, что веса моих багетов в целом уменьшались по мере приближения к концу эксперимента. Летняя жара, заключил я, способствовала их более быстрому высыханию. И опять же, этот фактор мог влиять на вытягивание кривой влево.

Из моего эксперимента можно, наверное, заключить, что веса багетов аппроксимируются слегка искаженной колоколообразной кривой, но главный урок, который я для себя извлек, состоял в том, что измерение — вовсе не простая штука. Нормальное распределение — это теоретический идеал, и нельзя предполагать, что все результаты будут ему соответствовать. Тогда я задумался об Анри Пуанкаре. Когда он взвешивал свой хлеб, исключил ли он систематические ошибки, связанные с парижской погодой или временем измерений? Быть может, из его экспериментов вовсе не следовало, что ему продавали 950-граммовый хлеб вместо килограммового, а следовало лишь, что между выпечкой и взвешиванием килограммовый хлеб теряет в весе 50 граммов? Вся история колоколообразной кривой в действительности представляет собой прекрасную аллегорию нетривиального взаимоотношения теоретических и прикладных областей знания. Однажды Пуанкаре получил письмо от французского физика Габриэля Липмана, который блестяще выразил, почему нормальное распределение столь высоко превозносится: «Все верят в колоколообразную кривую: экспериментаторы — поскольку полагают, что ее присутствие доказано математически; математики — поскольку считают, что она следует из наблюдений». В науке, как и во многих других сферах, мы часто выбираем то, что устраивает нас более всего.

Несколько лет тому назад Дайна Таймина сидела откинувшись на диване у себя дома в Итаке, штат Нью-Йорк, где она преподает в Корнеллском университете. Кто-то из домочадцев спросил ее, чем это она занимается.

— Пробую связать крючком гиперболическую плоскость, — ответила она, имея в виду конструкцию, которая одновременно озадачивала и пленяла математиков в течение почти двух столетий.

— Разве математики умеют вязать крючком? — презрительно обронил ее собеседник.

Несмотря на такое пренебрежительное отношение к ее занятию, Дайна только укрепилась в своем намерении использовать женское рукоделие для развития науки. И ей это удалось: она изобрела так называемое «гиперболическое вязание» — технику, в результате которой получаются очаровательные изделия, — а кроме того, внесла вклад в понимание геометрии, причем таким способом, о котором математики до этого и не подозревали.

Гиперболическое вязание

Чуть ниже я дам подробное определение понятию гиперболический и расскажу о том, что дает возможность понять модели, связанные Дайной, пока же все, что нам надо знать, — это то, что гиперболическая геометрия идет полностью вразрез с геометрией интуитивной, а правила игры, столь тщательно прописанные Евклидом в его «Началах», полагаются там неверными. Возникновение в начале XIX столетия «неевклидовой» геометрии ознаменовало появление в математике водораздела, который отсек геометрию, отвечающую нашему опыту, от новой геометрии, целиком и полностью ему противоречащей, что, впрочем, вовсе не делает ее математически противоречивой — наоборот, математически она верна в той же степени, что и родившаяся до нее евклидова система.

Позднее в том же столетии выдающийся немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) совершил интеллектуальный прорыв не меньшего значения: Кантор поставил наше интуитивное понимание бесконечности с ног на голову, доказав, что бесконечность может иметь различные размеры. Неевклидова геометрия и теория множеств Кантора стали вратами в необычные и чудесные миры, которые мы посетим на ближайших страницах.

«Начала» Евклида, как мы уже говорили, были и остаются самым влиятельным во все времена учебником по математике; в них заложены основы геометрии древних греков. Кроме того, в «Началах» установлен аксиоматический метод; Евклид исходил из ясных определений используемых терминов и правил, которым надлежало следовать, а затем строил из них весь корпус своих теорем. Правила, или аксиомы, представляют собой утверждения, которые принимаются без доказательства, и поэтому математики всегда стараются сделать их простыми и самоочевидными настолько, насколько это возможно.