40) может подсказать ответ на некоторые возможные
Как мы уже видели, степень универсальности и
возражения против теории Вейля, например на возра-
точности некоторой теории возрастает вместе со сте-
жение, согласно которому множество эллипсов, для
пенью ее фальсифицируемости. Таким образом, мы, по-
которых даны соотношения их осей и численный экс-
видимому, можем отождествить степень строгости тео-
центриситет, имеет в точности столько же параметров, рии, то есть степень, так сказать, жесткости тех огра-
как и множество окружностей, хотя второе множество, ничений, которые теория при помощи закона налагает
очевидно, является более «простым».
на природу, с ее степенью фальсифицируемости. Отсю-
Самое же важное состоит в том, что наша теория
да следует, что понятие степени фальсифицируемости
объясняет, почему простота ценится столь высоко. Что-
выполняет те самые функции, которые, по мнению
бы понять это, нам не нужно принимать ни «принцип
Шлика и Фейгля, должно выполнять понятие простоты.
экономии мышления», ни какой-либо другой принцип
Я могу добавить, что различение, которое Шлик хотел
провести между законом и случаем, также может быть
уточнено с помощью идеи степеней фальсифицируе-
*6 Как упоминалось в прим. *3 и *5, именно Джсффрис и Ринч
впервые предложили измерять простоту некоторой функции малочис-
мости. Оказывается, что вероятностные высказывания о
ленностью ее свободно заменимых параметров. Однако они вместе
последовательностях со случайными характеристиками, с тем предлагали приписывать более простой гипотезе большую
во-первых, имеют бесконечную размерность (см. [70, априорную вероятность. Таким образом, их взгляды могут быть вы-
разд. 65]), во-вторых, являются сложными, а не про-
ражены следующей схемой:
стыми (см. [70, разд. 58 и конец разд. 59] ) и, в-третьих, простота=малочисленность параметров —высокая
фальсифицируемы только при принятии специальных
априорная вероятность.
мер предосторожности (см. [70, разд. 68]).
Получилось так, что я исследовал эту проблему совсем с другой
Сравнение степеней проверяемости подробно обсуж-
стороны. Меня интересовала оценка степеней проверяемости, и я вна-
далось ранее, в разд. 31—40. Приводимые там примеры
чале обнаружил, что проверяемость можно измерить при помощи «ло-
гической невероятности» (которая в точности соответствует исполь-
и отдельные соображения можно легко перенести на
зуемому Джеффрисом понятию «априорной» невероятности). Затем
я обнаружил, что проверяемость и, следовательно, априорная неве-
и до сих пор придерживается воззрения, совершенно противоположного
роятность могут быть отождествлены с малочисленностью парамет-
моей теории простоты: он приписывает более простому закону боль-
ров, и только в конечном итоге я отождествил высокую степень про-
шую априорную вероятность, а не большую априорную невероятность, веряемости с высокой степенью простоты. Таким образом, мои взгля-
как это делаю я. (Таким образом, сопоставление взглядов Джеффри-
ды могут быть выражены такой схемой:
са и Нила может служить иллюстрацией к замечанию Шопенгауэра
проверяемость = высокая априорная
о том, что решение проблемы часто сначала выглядит как парадокс, невероятность = малочисленность параметров = простота.
а потом как трюизм.) Я хотел бы добавить здесь, что в последнее
время я значительно продвинулся в разработке моих взглядов на по-
Заметим, что две эти схемы частично совпадают. Однако в ре-
нятие простоты, при этом я старался усвоить, и, надеюсь, небезуспеш-
шающем пункте, когда речь заходит о вероятности и невероятности, но, кое-что из книги Нила.
они находятся в прямом противоречии друг с другом (см. также [70, прил. *VIII]).
186
187
такого же рода. Когда нашей целью является знание, ляется графическим представлением, в котором оси ко-
простые высказывания следует ценить выше менее
ординат не взаимозаменяемы (к примеру, ось χ может
простых, потому что они сообщают нам больше, потому
представлять атмосферное давление, а ось у — высоту
-что больше их эмпирическое содержание и потому что
над уровнем моря). По этой же причине преобразова-
'Они лучше проверяемы.
ния подобия также не играют здесь никакой роли. Ана-
логичные соображения применимы и к колебаниям си-
44. Геометрический образ и функциональная форма
нусоиды вокруг некоторой конкретной оси, к примеру
вокруг оси времени, и ко многим другим случаям.
Наша концепция простоты помогает нам разрешить
•ряд противоречий, которые до сих пор ставили под со-
45. Простота евклидовой геометрии
мнение полезность применения понятия простоты.
Одним из вопросов, занимавших важное место в
Немногие, я думаю, считают геометрический образ, большинстве дискуссий о теории относительности, был
•скажем, логарифмической кривой очень простым. Од-
вопрос о простоте евклидовой геометрии. При этом
нако закон, который может быть представлен с помощью
никто даже не пытался усомниться в том, что евклидо-
логарифмической функции, обычно считается простым.
ва геометрия как таковая проще, чем любая неевкли- ·
Аналогичным образом функция синуса, по общему мне-
дова геометрия с данной постоянной кривизной, не го-
нию, является простой, хотя геометрический образ си-
.воря уже о неевклидовых геометриях с переменной кри-
нусоиды, возможно, не является столь простым.
визной.
Трудности такого рода можно устранить, если мы
На первый взгляд кажется, что используемое при
вспомним о связи между числом параметров и сте-
таком сравнении понятие простоты не имеет почти ни-
пенью фальсифицируемости и проведем различение
чего общего со степенями фальсифицируемое™. Одна-
между формальной и материальной редукциями раз-
ко если высказывания о простоте различных геометрий
мерности. (Здесь могут помочь и соображения о роли
сформулировать в виде эмпирических гипотез, то обна-
инвариантности по отношению к преобразованиям си-
ружится, что два интересующих нас понятия — простота
стем координат.) Когда речь идет о геометрической
и фальсифицируемость — совпадают и в этом случае.
-.форме или об образе некоторой кривой, мы требуем от
Рассмотрим, какие эксперименты могут оказать нам
нее инвариантности по отношению ко всем преобразо-
помощь в проверке следующей гипотезы: «В нашем ми-
ваниям, принадлежащим к группе переносов. Мы мо-
ре необходимо использовать некоторую метрическую
жем также потребовать при этом инвариантности по
геометрию с таким-то и таким-то радиусом кривизны».
отношению к преобразованиям подобия, так как обыч-
Эта гипотеза допускает проверку только в том случае, но предполагается, что геометрическая форма или гео-
если мы отождествим некоторые геометрические сущ-
метрический образ не связаны с определенным местом
ности с определенными физическими объектами, на-
на плоскости. Следовательно, если мы рассматриваем
пример прямые линии ·— со световыми лучами, точки —
форму однопараметрической логарифмической кривой
с пересечением нитей и т. п. Если принять такое отож-
(y = logax), не связывая ее с определенным местом на
дествление (то есть соотносящее определение или, воз-
плоскости, то такая кривая будет зависеть от пяти па-