q, согласно которой все планетарные орбиты являются

своим успехом частично обязан тому факту, что гипо-

окружностями, трехмерна, поскольку для ее фальсифи-

теза окружности, от которой он отталкивался в своем

кации необходимы по крайней мере четыре принадле-

исследовании, была относительно легко фальсифици-

жащих данной области сингулярных высказывания, руема. Если бы Кеплер начал с гипотезы, не столь

соответствующих четырем точкам ее графического пред-

легко фальсифицируемой на основании ее логической

ставления. Гипотеза s, согласно которой все планетар-

формы, как гипотеза окружности, он вполне мог бы не

ные орбиты являются эллипсами, пятимерна, поскольку

получить никакого результата, особенно если принять

для ее фальсификации необходимы по крайней мере

во внимание трудности вычислений, само основание

шесть сингулярных высказываний, соответствующих

которых висело «в воздухе», блуждало, так сказать, по

шести точкам на графике. В разд. 36 мы установили, небесам и двигалось в неизвестном направлении. Не-

что q легче фальсифицируема, чем s (поскольку все

двусмысленный отрицательный ответ, который Кеплер

окружности являются эллипсами, возможно проводить

получил при фальсификации своей гипотезы окруж-

сравнение этих гипотез на основе отношения включе-

ности, фактически был его первым реальным успехом.

*20 Предполагается, что условия, при которых эта теорема вер-

Развиваемые далее соображения были поддержаны со ссыл-

на, всегда выполняются «пространствами», с которыми мы здесь име-

кой на источник Нилом [45, с. 230] и Кемени [43, прим. на с. 404].

ем дело.

173

172

Используемый им метод имел в его глазах достаточное

оправдание для того, чтобы двигаться дальше, в част-

ности потому, что даже эта его первая попытка уже

нульмерные

одномерные

двумерные

трехмерные

четырехмер-

дала определенные результаты.

классы

классы

ные клас-

22

классы

классы

Без сомнения, законы Кеплера могли быть обна-

сы

ружены иначе. Однако, по моему мнению, то, что имен-

но этот путь привел к успеху, не было чисто случай-

—

—

прямая ли-

окружность

парабола

ным. Путь, по которому шел Кеплер, соответствует

ния

методу устранения, который применим только тогда, прямая ли-

окружность

парабола

коническое

когда теория достаточно легко фальсифицируема, то

—

ния через

через одну

через од-

сечение

есть^ достаточно точна для того, чтобы быть способной

одну дан-

данную

ну дан-

через од-

прийти в столкновение с данными наблюдения.

ную точку

точку

ную точку

ну дан-

ную точку

"

40. Два способа редукции размерности

прямая ли-

окружность

парабола че- коническое

множества кривых

ния через

через две

рез две

сечение

две дан-

данные

данные

. через две

ные точки

точки

точки

данные

Совершенно различные множества кривых могут

точки

иметь одну и ту же размерность. Множество всех окруж-

ностей, к примеру, трехмерно, а множество всех окруж-

окружность

парабола

коническое

—

"

ностей, проходящих через данную точку, является дву-

через три

через три

сечение

мерным множеством (подобно множеству прямых ли-

данные

данные

через три

точки

точки

данные

ний). Если же мы потребуем, чтобы все окружности

точки

проходили через две данные точки, то мы получим одно-

мерное множество, и т. д. Каждое дополнительное

точку (или некоторую очень маленькую область), часто

условие, требующее, чтобы все кривые некоторого мно-

будет связываться или ставиться в соответствие с при*

жества проходили еще через одну данную точку, сни-

нятием некоторого сингулярного высказывания, то есть

жает размерность данного множества на единицу.

начального условия. Вместе с тем переход, скажем, от

Размерность можно также редуцировать и другими

гипотезы эллипса к гипотезе окружности, очевидно, методами, отличными от увеличения числа данных то-

будет соответствовать редукции размерности самой тео-

чек. Так, например, множество эллипсов с данным со-

рии. Как же можно разграничить эти два метода редук-

отношением их осей является четырехмерным (как и

ции размерности? Мы можем назвать «материальной

множество парабол), и таким же является множество

редукцией» метод редукции размерности, который не

эллипсов с данным численным эксцентриситетом. Пере-

имеет дела с допущениями, касающимися «формы» или

ход от эллипса к окружности, конечно, эквивалентен

«вида» кривой, то есть, к примеру, редукции при помо-

спецификации эксцентриситета (эксцентриситет в этом

щи точного определения одной или более точек или

случае равен 0) или принятию особого соотношения

при помощи какой-либо эквивалентной спецификации.

осей (равного 1).

Другой метод, при котором форма или вид кривой

Поскольку мы заинтересованы в оценке степеней

становятся более точно определенными, как, например, фальсифицируемости теорий, мы теперь поставим во-

когда мы переходим от эллипса к окружности или от

прос о том, эквивалентны ли для наших целей различ-

окружности к прямой линии и т. д., я назову методом

ные методы редукции размерности или нам следует

«формальной редукции» размерности.

более тщательно исследовать их относительные до-

стоинства. Действительно, допущение о том, что кри-

вая должна проходить через определенную сингулярную

22 Мы могли бы, конечно, начат ь с пустого минус-одномерного

класса.

174

175

Однако это различение нелегко сделать достаточно

ной, системе координат. Следовательно, такая редукция

точным. В этом можно убедиться следующим образом.

связана с индивидуальными именами23.

Редукция размерности на языке алгебры означает за-

Можно построить некоторую иерархию подобных

мену некоторого параметра константой. Однако не

преобразований. Определение, инвариантное но отно-

очень ясно, каким образом мы можем различить раз-

шению к более общей группе преобразований, являет-

ные методы замены параметра константой. Формальная

ся также инвариантным и по отношению к б£>лее част-

редукция, заключающаяся в переходе от общего урав-

ным группам. Для каждого определения множества

нения эллипса к уравнению окружности, может быть

кривых существует одна наиболее общая группа пре-

описана как приравнивание одного параметра к 0, а

образований, которая является характерной для этого

второго — к 1. Однако если второй параметр (абсолют-

множества. Теперь мы можем сказать: определение

ный термин) приравнивается к 0, то это означало бы

Di множества кривых называется «равным по общности»

материальную редукцию, а именно спецификацию неко-

(или более общим по отношению к) определению D2

торой точки эллипса. Тем не менее я считаю, что это

множества кривых, если оно инвариантно по отношению

различение можно сделать ясным, если мы установим

к той же самой группе преобразований, что и D2 (или

его связь с проблемой универсальных имен. Дело в

по отношению к более общей группе). Редукцию раз-