ных высказываний можно определить при помощи

ставить все возможные ге-ки, принадлежащие опреде-

порождающей схемы или матрицы (ее можно пояснить

ленной области, как пространственно упорядоченные

следующим примером: «В месте... существует измери-

(в бесконечном конфигурационном пространстве). Если, тельное устройство для ... указательная стрелка которо-

к примеру, d = 3, то высказывания, являющиеся прием-

го расположена между отметками шкалы... и ...»). С ее

лемыми на том основании, что их степень неэлементар-

помощью относительно атомарные и, следовательно, ности слишком мала, образуют трехмерное подпро-

равно неэлементарные высказывания можно определить

странство данной конфигурации. Переход от d = 3 к

как класс всех высказываний, получающихся из такого

d = 2 соответствует переходу от трехмерного простран-

рода матрицы (или функции высказывания) при под-

ства к плоскости. Чем меньше размерность d, тем более

становке в нее определенных значений. Класс таких вы-

жестко ограничен класс тех допустимых высказываний, сказываний вместе со всеми конъюнкциями, которые

которые безотносительно к их содержанию не могут

могут быть составлены из членов этого класса, можно

противоречить теории по причине своей малой степени

назвать «областью». Конъюнкцию n различных отно-

неэлементарности, и тем выше будет степень фальси-

сительно атомарных высказываний некоторой области

фицируемости данной теории.

можно назвать «n-кой, принадлежащей данной обла-

Понятие области применения не ограничивается ба-

сти», и мы можем сказать, что степень неэлементарности

зисными высказываниями. Сингулярные высказывания

этой коньюнкции равна числу п.

всех других типов могут быть высказываниями, при-

Если для теории t существует область сингулярных

надлежащими к области применения. Сравнивая их

высказываний (но необязательно базисных высказыва-

размерности при помощи данной области, мы можем

ний), таких, что для некоторого числа а теория t не

оценить степень неэлементарпости базисных высказы-

может быть фальсифицирована никакой d-кой из дан-

ваний. (Мы предполагаем, что сингулярным высказы-

ной области, но она может быть фальсифицирована не-

ваниям, обладающим высокой степенью неэлементар-

которыми ci+1-ками, то мы назовем d характеристиче-

ности, соответствуют базисные высказывания, также

ским, числом теории по отношению к этой области. Все

обладающие высокой степенью неэлементарности.) Та-

высказывания данной области, чья степень неэлемен-

ким образом, можно предположить, что теории большей

тарности меньше или равна d, являются в таком случае

размерности соответствует класс базисных высказыва-

совместимыми с теорией и допускаются ею безотноси-

ний большей размерности, таких, что все высказыва-

тельно к их содержанию.

ния, принадлежащие этому классу, допускаются тео-

Итак, возможно проводить сравнение степени про-

рией независимо от того, что они утверждают.

веряемости теорий, исходя из характеристического чис-

Это ответ на вопрос о том, каким образом соотно-

ла d. Однако для того чтобы избежать противоречий, сятся два метода сравнения степеней проверяемости

могущих возникнуть при использовании различных об-

теорий: метод, основывающийся на понятии размер-

ластей, необходимо ограничиться более узким поня-

ности теории, и метод, основывающийся на отношении

тием, чем понятие области, а именно понятием области

включения классов. Мы еще встретимся со случаями, применения. Если дана теория t, то мы будем говорить, когда неприменим ни один из них или применим только

чта некоторая область является областью применения

один из этих двух методов сравнения. В таких случаях, теории t, если существует характеристическое число d конечно, нет места для конфликта между этими мето-

теории t по отношению к этой области и если к тому

дами. Однако если в некотором конкретном случае при-

же эта область удовлетворяет некоторым другим усло-

менимы оба метода, то вполне может случиться, что

виям, которые формулируются в [70, прил. I].

две теории одинаковой размерности могут тем не менее

Характеристическое число d теории t по отношению

иметь разные степени фальсифицируемое™, когда мы

к некоторой области применения я буду называть раз-

оцениваем их с помощью метода, основанного на отно-

мерностью t по отношению к этой области применения.

171

170

шении включения классов. В таких случаях следует при-

ния классов). Использование размерностей дает нам

нимать результат, полученный на основе второго мето-

возможность сравнить теории, которые мы прежде срав-

да, так как он является более чувствительным методом.

нивать не могли. Так, например, мы можем теперь

Во всех других случаях, в которых применимы оба ме-

сравнить гипотезу об окружностях с гипотезой о пара-

тода, они должны вести к одному и тому же резуль-

болах (которая является четырехмерной). Каждое из

тату, так как можно доказать с помощью простой тео-

слов «окружность», «эллипс», «парабола» обозначает

ремы теории размерности, что размерность некоторого

класс или множество кривых, и каждое из этих мно-

класса должна быть больше или равна размерности

жеств имеет размерность а, если а точек необходимы

его подклассов (см. [52, с. 81] )*

и достаточны для того, чтобы выделить или охаракте-

2 0 .

ризовать одну конкретную кривую, принадлежащую

данному множеству. При алгебраическом представле-

39. Размерность множества кривых

нии размерность множества кривых зависит от числа

параметров, значения которых можно произвольно вы-

В некоторых случаях мы можем достаточно просто

бирать. Следовательно, можно сказать, что число сво-

отождествить то, что я назвал «областью применения»

бодно детерминируемых параметров множества кривых, некоторой теории, с областью ее графического пред-

при помощи которых представляется теория, является

ставления, то есть с пространством миллиметровой бу-

характеристическим для степени фальсифицируемости

маги, на которой мы представляем теорию с помощью

(или проверяемости) данной теории.

графиков. Каждая точка такой области графического

В связи с высказываниями q u s, о которых идет

представления считается соответствующей одному отно-

речь в рассмотренном примере, я хотел бы сделать не-

сительно атомарному высказыванию. При этом размер-

сколько методологических замечаний, касающихся от-

ность теории по отношению к этой области (ее опреде-

крытия Кеплером его законов*21.

ление см. в [70, прил. I] ) тождественна размерности

Я не хочу навести вас на мысль о том, что вера в

множества кривых, соответствующих теории. Я рас-

совершенство — эвристический принцип, приведший

смотрю эти отношения при помощи двух высказываний

Кеплера к его открытию, — была внушена ему созна-

q и s, которые были сформулированы в разд. 36. (Про-

тельно или бессознательно методологическими сообра-

водимое нами сравнение размерностей применяется к

жениями, касающимися степеней фальсифицируемости

высказываниям с различными предикатами.) Гипотеза

теорий. Однако я действительно считаю, что Кеплер