64. Конечно же, спичку, так как без нее нельзя зажечь ни свечу, ни керосиновую лампу. Вопрос задачи двусмысленен, ведь его можно понимать то ли как выбор между свечой и керосиновой лампой, то ли как последовательность в зажигании чего-либо (сначала спичка, а уж от нее – все остальное).

65. Может показаться, что Петр будет спать 14 часов, но на самом деле он сможет поспать всего 2 часа, потому что будильник прозвонит в 9 часов вечера. Простой механический будильник не различает дня и ночи и всегда звонит в то время, на которое его поставили. Если бы это был электронный будильник компьютерного типа, который можно программировать, тогда Петру удалось бы проспать с 7 часов вечера до 9 часов утра.

66. Логическая закономерность, что отрицание истины является ложью, а отрицание лжи – истиной, действует только тогда, когда речь идет об одном и том же предмете. В данном случае речь должна идти об одном и том же предложении. Если бы это было так, то одно утверждение обязательно было бы истинным, а другое ложным, или наоборот. Но в задаче речь идет о двух разных предложениях. Поэтому нет ничего удивительного в том, что они оба являются ложными.

67. Сумма восьми цифр, равная двум, может получиться в том случае, если одна из этих цифр – двойка, а остальные – нули. Такое восьмизначное число только одно. Это 20 000 000. Но сумма восьми цифр, равная двум, также может получиться в том случае, если две из этих цифр единицы, а остальные нули. Таких восьмизначных чисел семь: 11 000 000, 10 100 000, 10 010 000, 10 001 000, 10 000 100, 10 000 010, 10 000 001.

Итак, существует восемь восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна двум.

68. Периметр фигуры – это сумма длин всех ее сторон. В данной фигуре 12 сторон. Если ее периметр равен 6, то одна сторона равна 6: 12 = 0,5. Фигура состоит из 5 одинаковых квадратов, со стороной 0,5.

Площадь одного квадрата равна 0,5 · 0,5 = 0,25. Следовательно, площадь всей фигуры равна 0,25 · 5 = 1,25.

69. Затруднение при решении может возникнуть из-за необычно сформулированного условия задачи. Сама же задача очень проста. Требуется всего лишь записать математически то, что выражено в ней словами, т. е. распутать ее словесное условие. Сумма квадратов чисел 2 и 3 – это 2² + 3². Куб суммы квадратов чисел 2 и 3 – это (2² + 3²)³. Сумма кубов этих чисел – это 2³ + 3³. Квадрат этой суммы – это (2³ + 3³)². Надо найти разность первого и второго:

(2² + З²)³ – (2³ + З³)² = (4 + 9)³ – (8 + 27)² = 13³ – 35² = 2197–1225 = 972.

70. Это число 2. Половина этого числа равна 1, а половина от половины этого числа (т. е. единицы) равна 0,5, т. е. тоже половине.

71. Рассуждение неверно. Совершено не обязательно, что Саша Иванов со временем побывает на Марсе. Внешняя правильность этого рассуждения создается за счет употребления в нем одного слова человек в двух разных смыслах: в широком (абстрактный представитель человечества) и в узком (конкретный, данный, именно этот человек).

72. Как видим по условию, для получения оранжевой краски требуется в 3 раза больше желтой краски, чем красной: 6: 2 = 3. Значит, из имеющегося количества желтой и красной красок надо взять в 3 раза больше желтой краски, чем красной, т. е. 3 грамма желтой и 1 грамм красной. Можно получить 4 грамма оранжевой краски.

73. См. рис. 62.

Можно убрать и другие 2 спички.

74. Надо поставить запятую: 5 < 5, 6 < 6.

75. Сначала надо выяснить, каков общий возраст всех игроков команды: 22 · 11 = 242. Возраст выбывшего игрока примем за х. После того как он выбыл, общий возраст игроков команды стал равен 242 – х. Поскольку игроков стало 10 и их средний возраст известен (21 год), можно составить следующее уравнение:

(242 – х): 10 = 21,

242 – х = 210,

х = 242–210 = 32.

Выбывшему игроку 32 года.

76. Рассуждение, конечно же, неверно. Эффект его внешней правильности достигается благодаря употреблению понятия «возраст отца» в двух разных смыслах: возраст отца как возраст человека, который является этим отцом, и возраст отца как число лет отцовства. Кстати, во втором значении понятие возраст, как правило, не употребляется: обычно под словосочетанием возраст отца понимается возраст этого человека, а не что-либо иное.

77. Сначала надо разделить 24 килограмма гвоздей на две равные части по 12 килограммов, уравновесив их на чашах весов. Затем так же разделить 12 килограммов гвоздей на две равные части по 6 килограммов. После этого отложить одну часть, а другую разделить таким же способом на части по 3 килограмма. Наконец к шестикилограммовой части гвоздей добавить эти 3 килограмма. В результате получится 9 килограммов гвоздей.

78. Это был четверг. В этот день Петр правдиво сказал, что вчера (т. е. в среду) он лгал, а Иван солгал насчет того, что вчера (т. е. в среду) он лгал, ведь по условию в среду он говорит правду.

79. Это число 147.

80.

81. В 1001 раз. Для того чтобы установить это, надо шестизначное число, полученное путем дублирования трехзначного числа, разделить на это трехзначное число. Получится 1001 (см. также задачу 51).

82. Ошибка данного рассуждения заключается в утверждении, что если бы не было времени, то не было бы ни одного дня, а значит, всегда стояла бы ночь. Как раз наоборот – если бы не было времени, то не могло бы быть ни одного дня и ни одной ночи, ведь понятие ночи (как и понятие дня) относится именно ко времени (и день, и ночь – это некие временные интервалы).

83. Примем число яблок, которые взяла Настя из первой корзины, за х, тогда в первой корзине осталось (12 – х) яблок. Именно столько яблок и взяла Маша из второй корзины. Значит, во второй корзине осталось

(12 – (12 – х)) яблок.

В двух корзинах вместе осталось

(12 – х) + 12 – (12 – х) = 12 – х + 12–12 + х = 12.

В двух корзинах вместе осталось 12 яблок.

84. Этого не может сказать ни одна свинья, ведь свиньи, как известно, не говорят. Эта не очень серьезная задача основана на двусмысленности вопроса: «Сколько свиней могут сказать…?» Слово «сказать» в этом вопросе можно понимать буквально – говорить членораздельной человеческой речью, а также его можно воспринимать в переносном значении – кто-то говорит от имени или за тех, которые сами говорить не могут (не умеют).

85. Сапожник и плотник – это одно лицо. В этом легко убедиться, составив простую схему:

86. Рассуждение неверно. Ошибка заключается в смешивании двух различных ситуаций в одних и тех же словах. Когда рабочие строят дом, их усилия складываются, поэтому работа идет быстрее и выполняется за более короткий срок. Когда корабли пересекают Атлантический океан, то их «усилия» не складываются: каждый корабль преодолевает океан все равно в одиночку, и поэтому время, затраченное на переправу через океан, не уменьшается при увеличении количества кораблей.