466. Четыре костяшки, изображенные на рисунке, удовлетворяют нашим условиям. Можно обнаружить, что, суммируя группы очков, непосредственно прилегающие друг к другу, удается получить любое число от 1 до 23 включительно.
[Решение Дьюдени было улучшено. Цепочка из четырех костяшек 1—3, 6—6, 6—2, 3—2 позволяет получить все числа от 1 до 29. Кроме того, оказывается, с помощью трех костяшек 1—1, 4—4, 4—3 можно получить любое число от 1 до 17. — М. Г.]
467. Приведенный рисунок не требует пояснений. Восемнадцать костяшек образуют квадрат, и ни в одной из строк или столбцов одно и то же число ие повторяется дважды. Разумеется, существуют и другие решения.
468. На нашем рисунке приведено правильное решение. Костяшки приложены друг к другу согласно обычному правилу, сумма очков в каждом луче равна 21, а в центре расположены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и две пустышки.
469. На рисунке показано одно из решений. Цепочка костяшек разорвана на 4 части по 7 штук, а сумма очков в каждой части равна 22.
470. На рисунке показано правильное решение: два квадрата, составленные из пустышек, находятся внутри. Если бы в приведенном ранее примере не все числа находились на границе, то нужно было бы просто поменять местами отсутствующее число и пустышки. Так что в этом случае не было бы никакой головоломки. Однако, поскольку все числа присутствовали на границе, таким простым маневром обойтись не удалось.
[Относительно задач такого типа, известных под названием кадрилей, см. Е. Lucus, Rґecrґeations Mathematiques, 2, 52-63, и работу Wade E., Philpott «Quadrilles» в журнале Recreational Mathematics Magazine, N 14, January — February 1964, pp. 5-11. — M. Г.]
471. Решение приведено на рисунке. Сумма всех очков равна 132. Одна треть ее равна 44. Разделите сначала все костяшки на три кучки, по 44 очка в каждой. Затем если мы попытаемся взять сумму очков вдоль стороны, равной 12, то, поскольку 4 раза по 12 на 4 превышает 44, мы должны добиться в каждом случае того, чтобы сумма очков, стоящих по четырем углам, в каждой рамке равнялась 4. Остальное получается после ряда проб, причем можно менять местами костяшки из разных кучек, содержащие равное число очков.
472. На рисунке показано, как можно сложить из 28 костяшек 7 полых квадратов, чтобы при этом суммы очков вдоль каждой из сторон в любом квадрате равнялись между собой. При составлении квадратов вам полезно иметь в виду следующее маленькое правило. Если сумма очков равна, скажем, 7 (как в первом примере), а вы хотите, чтобы их сумма вдоль каждой из сторон равнялась 3, то 4 × 3 - 7 дает нам 5 — сумму очков в четырех углах. Это совершенно необходимо. Так, в последнем примере 4 × 16 = 64 - 43 говорит нам о том, что сумма очков, стоящих по углам, должна равняться 21: так оно и есть в действительности.
473. Если мы уберем из комплекта четыре костяшки 7—6, 5—4, 3—2, 1—0, то из оставшихся костяшек можно будет составить правильную последовательность. Подойдут также любые другие комбинации этих чисел; мы могли бы, например, убрать 7—0, 6—1, 5—2 и 4—3. Общее правило состоит в том, что из комплекта домино, заканчивающегося дублем нечетного числа, мы должны убрать костяшки, которые содержат в совокупности все числа от пустышки до числа, на две единицы меньшего самого большого числа в нашем наборе.
474. На рисунке показано, как можно составить из 28 костяшек два квадрата, у которых сумма очков вдоль любой из сторон равна 22. Если сумма равна 22, то сумма углов должна равняться 8; если 23, то 16; если 24, то 24; если 25, то 32; если 26, то 40. Сумма не может быть меньше 22 или больше 26.
475. На рисунке показано, как можно составить 7 столбиков из 28 костяшек.
476. На рисунке показано, как можно составить из 28 костяшек прямоугольник, у которого сумма очков в каждом столбце равна 24, а в каждой строке 21.
477. Расположите второй столбик (на нашем рисунке) под первым, а третий под вторым (мы разделили один столбик на три части для удобства печати), и вы получите искомое решение.
478. Существует 126 760 различных способов, которыми можно расположить 15 костяшек в одну линию, если различать два направления.
479. Наименьшее возможное число равно 36 спичкам. Мы можем составить треугольник и квадрат из 12 и 24 спичек, треугольник и пятиугольник — из 6 и 30 спичек, треугольник и шестиугольник — из 6 и 30 спичек, квадрат и пятиугольник — из 16 и 20 спичек, квадрат и шестиугольник — из 12 и 24 спичек, а пятиугольник и шестиугольник — из 30 и 6 спичек. Эти пары чисел можно варьировать во всех случаях, за исключением четвертого и последнего. Общее число спичек не может быть меньше 36. Для треугольника и шестиугольника нужно взять число спичек, делящееся на 3; на квадрат и шестиугольник идет четное число спичек. Следовательно, искомое число должно находиться среди чисел, делящихся на 6, таких, как 12, 18, 24, 30, 36. но меньше чем из 36 спичек нельзя сложить пятиугольник и шестиугольник.
480. Если загородка имеет вид прямоугольника, то его площадь будет тем больше, чем ближе он к квадрату. Но самая большая площадь получается, когда жерди расположены в виде правильного многоугольника, а если это можно сделать несколькими способами, то максимальной будет площадь у того многоугольника, стороны которого состоят всего из одной жерди. Так, в приведенном ранее примере площадь шестиугольника была больше площади треугольника. Изображенный на рисунке правильный двенадцатиугольник ограничивает наибольшую (в случае 12 жердей) площадь, достаточную для примерно 11⅕ овцы. Одиннадцатью жердями можно огородить участок, достаточный только для примерно 9
481. На рисунке показано, как 13 и 7 спичками можно огородить два участка, причем площадь одного из них в 3 раза больше второго, поскольку меньший содержит ровно 5 маленьких треугольников, а больший 15.
Есть и другие решения.
482. На рисунке показано одно из четырех решений данной головоломки с 11 (нечетным числом) спичками. Если вы сначала окружите какой-нибудь внешний ряд вроде A, то затем сможете окружить в любом случае квадрат Bи завершить решение, затратив всего 11 спичек.
483. Следует передвинуть вторую I в VII так, чтобы получился знак квадратного корня. Корень квадратный из 1 равен, разумеется, 1, следовательно, и вся получившаяся дробь равна 1.
484. Передвиньте две сигареты, образующие букву L, и поместите их так, как показано на рисунке. Мы имеем корень квадратный из 1 минус 1 (то есть 1—1), что равно, очевидно, 0. Во втором случае мы можем сдвинуть те же сигареты, поместив одну из них рядом с V, а другую рядом со второй I так, чтобы получилось слово NIL (ничто).