[Хотя общего правила не найдено до сих пор, все же с того момента, как Дьюдени поставил эту задачу, отмечен существенный прогресс. Обнаружено, что восьми делений достаточно также и для линейки в 36 см. — М. Г.]
442. Если расположить коттеджи по кругу через промежутки 1, 1, 4, 4, 3, 14 км, то для любого целого числа километров от 1 до 26 включительно найдутся два коттеджа, отстоящие друг от друга на такое расстояние.
[Эта задача, очевидно, представляет собой разновидность предыдущей. Как и ранее, Дьюдени мог бы увеличить длину «линейки» (в нашем случае — дороги), не меняя остальных условий задачи. Оказывается, что 6 коттеджей можно расположить на круглой дороге в 31 км таким образом, чтобы любое целое расстояние от 1 до 30 км совпадало с расстоянием по кругу между некоторой парой домов. Нетрудно заметить, что для п домов максимальнее число различных способов измерения расстояний между ними равно n( n- 1). Для n= 6 мы получаем 30; следовательно, в этом случае можно расположить 6 домов на дороге в 31 км так, чтобы ни одно из расстояний между парами домов не повторялось. Точно так же оптимальные решения можно получить и в случае n= 1, 2, 3, 4 или 5. См. решение задачи Е176 Михаелем Гольдбергом, приведенное в журнале American Mathematical Monthly, September 1966, p. 786. — M. Г.]
443. Существует 9 основных решений, представленных на рисунке. Решение A — это то самое решение, которое давалось при формулировке задачи. Из данных 9 решений D, Eи Jпорождают по 8 решений каждое с помощью поворотов и отражений, как объяснялось ранее, а остальные дают только по 4 решения каждое. Следовательно, всего существует 48 различных решений данной головоломки.
Читателю, быть может, будет небезынтересно узнать, что на шахматной доске 8 × 8 пять фишек можно расположить вдоль прямой при тех же самых условиях четырьмя основными способами, порождающими 20 различных решений.
444. Три мухи переменили позицию, как показано стрелками на рисунке, и при этом никакие две мухи не оказались на одной прямой.
445. Если бы у Пилкинса было 11 клерков, а у Рэдсона 12, то они могли бы сесть за стол 165 и 495 способами соответственно, что как раз и являлось бы решением задачи. Однако нам известно, что у той и другой фирмы клерков было поровну. Следовательно, ответом будет 15 клерков, садившихся по трое в течение 455 дней, и 15 клерков, садившихся по четыре в течение 1365 дней.
446. В первом случае существует 88 200 способов. Есть один простой метод, с помощью которого можно получить ответ, но объяснение его потребовало бы слишком много места. Во втором случае ответ уменьшается до 6300 способов.
447. Удалите первую плитку в каждом горизонтальном ряду. Тогда из оставшихся 16 плиток можно сложить квадрат, показанный на рисунке, в точном соответствии с заданными условиями.
448. Если вы попытались, как это часто делают, сначала расставить по местам все 6 экземпляров одной буквы, затем все 6 экземпляров другой и т. д., то обнаружите, что, расположив по 6 экземпляров каждой из четырех букв, можно еще разместить только по 2 экземпляра оставшихся двух букв, так что получится диаграмма, изображенная слева. Секрет заключается в том, чтобы заполнить клетки 6 экземплярами каждой из первых двух букв и пятью экземплярами каждой из остальных четырех букв; при этом получится вторая диаграмма, изображенная справа, только с четырьмя свободными клеточками.
449. Расположите 10 бочек следующими двумя способами, и сумма номеров вдоль каждой из сторон даст 13 — наименьшее возможное число:
Меняя положение номеров (но не сами номера) на каждой из сторон, мы получим по 8 решений в каждом случае, если не будем различать решения, получающиеся друг из друга поворотами и отражениями.
450. С тремя красными, белыми или зелеными лампами мы можем получить по 15 различных комбинаций (45). С одной красной и двумя белыми мы также можем получить 15 комбинаций, и при каждой из них имеется еще по 3 комбинации порядка цветов; всего 45 комбинаций. То же самое получится с одной красной и двумя зелеными, одной белой и двумя красными, одной белой и двумя зелеными, одной зеленой и двумя белыми, одной зеленой и двумя красными лампами (270). С одной красной, одной белой и одной зеленой лампами мы можем получить 6 раз по 15 комбинаций (90). С двумя красными, двумя белыми или двумя зелеными мы можем получить по 7 комбинаций (21). С одной красной и одной белой, или одной красной и одной зеленой, или одной белой и одной зеленой лампами мы можем получить по 14 комбинаций (42). С помощью только одной лампы мы можем послать всего по 1 сигналу (3). Теперь сложите числа в скобках, и вы получите ответ — 471 сигнал.
451. В следующем решении каждый узник скован с каждым из остальных один и только один раз.
Если читателю хочется найти трудную головоломку, над решением которой он мог бы биться в течение целой зимы, то пусть он попытается разбить аналогичным образом на тройки 21 узника в каждый из 15 дней так, чтобы ни одна пара не оказалась скованной дважды.
В случае, если он придет к выводу, что этого сделать нельзя, мы добавим, что у нас есть одно решение. Но это трудный орешек.
452. При данных условиях существует 144 различных способа.
453. Миссис Финч получила 4 по 17 и 2 по 16, а всего 100 очков; Реджи Уотсон выбил 2 по 23 и 4 по 16, а всего 110; мисс Дора Талбот получила один раз 40 и 5 по 16 очков, а всего 120 очков. Она могла выбить свои 120 очков различными способами, если бы в условии не было сказано, что чья-то стрела поразила «яблочко», а это могла быть только ее стрела.
454. Общее число очков равно 213, так что каждый спортсмен выбил по 71 очку, а это можно сделать следующим образом: первый выбил 50, 10, 5, 3, 2 и 1, второй — 25, 20, 20, 3, 2 и 1 и третий — 25, 20, 10, 10, 5 и 1 очко.
455. Подавляющее большинство людей, пытавшихся решить головоломку «Сакраменто — край богатый», когда она впервые появилась в лондонской газете Daily News, смогли собрать только 45 долларов.
Правильный ответ равен 47 долларам в 10 мешках, расположенных на внешних кругах следующим образом: 4, 5, 6в первом ряду, 5во втором, 4в третьем, 3в четвертом, 5в пятом и 5, 6, 4в нижнем ряду. Если вы возьмете 5 мешков по 6 долларов, то всего сможете собрать 9 мешков с общей суммой 46 долларов.
456. Дети могут сесть 5040 различными способами, из них в 720 случаях на обоих концах окажутся девочки. Следовательно, искомая вероятность равна
457. Перенумеруем клеточки, как показано на рисунке. Случай A: мистер Нолик (первый игрок) может начать игру тремя путями: с центра 5, либо с любого угла — 1, 3, 7или 9, либо с любой стороны — 2, 4, 6, 8. Разберем эти начала по очереди. Если мистер Нолик начнет с центра, то у мистера Крестика есть выбор пойти в угол или на сторону. Если он пойдет на сторону, например в клеточку 2(случай A), то Нолик пойдет последовательно на 1и 4(или на 1и 7) и выиграет. Поэтому Крестик должен сделать ход в угол, как в случае B, при этом Нолик сможет добиться всего лишь ничьей. Если Нолик сделает первый ход в угол, скажем в 1, то Крестик может ответить ему пятью способами — случаи C, D, E, Fи G(поскольку 4есть то же самое, что и 2; 7 — то же, что и 3; 8 — то же, что и 6). Если он выберет случай C, то Нолик выигрывает, сделав ход на 5и 4; если D, то Нолик выигрывает на 7и 3; если E, то Нолик выигрывает на 9и 7; если F, то Нолик выигрывает на 5и 3. Поэтому Крестик вынужден пойти в центр, как в случае G; при этом игра закончится вничью. Если Нолик начнет со стороны, скажем с клеточки 2, как в случаях Н, J, К, L и М, а Крестик сыграет, как в случае Н, то Нолик выиграет, сделав ходы на 5и 1; а если Крестик выберет случай J, то Нолик выиграет на 1и 5. Следовательно, Крестик, чтобы добиться ничьей, должен пойти, как в случаях K, Lили M.