ЛитЛайф

Жанры

Авторы

Книги

Серии

Форум

Подборки

Павлов Андрей Николаевич•

Книга "Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс"•

Оглавление

  1. Андрей Николаевич Павлов Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 кл
    1. Предисловие для учащихся
      1. Это пособие призвано помочь вам, во-первых, систематизировать знания по планиметрии, а во-в...
    2. Предисловие для учителей
      1. У этой книги две цели. С одной стороны, она представляет собой пособие для учащихся, призва...
    3. Глава 1 Справочная информация теоретического характера
      1. § 1. Логические основы школьного курса планиметрии
        1. 1.1. Справочная информация
          1. Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в ...
        2. 1.2. Вопросы для самопроверки
          1. 1. Что изучает геометрия? (1) 2. Что означает слово «геометрия» в переводе ...
        3. 1.3. Темы для сообщений и рефератов
          1. 1. Высказывания. Операции над высказываниями. Законы математической логики.(2) ...
      2. § 2. Основные понятия планиметрии
        1. 2.1. Справочная информация
          1. На экзамене по геометрии очень важно давать правильные (корректные) определения. Часто ...
        2. 2.2. Вопросы для самопроверки
          1. 1. Как принято обозначать точки и прямые на чертеже или в тексте? (1) 2. Чт...
        3. 2.3. Темы для сообщений и рефератов
          1. 1. Замечательные точки в треугольнике. (1) 2. Вневписанные окружности. (1–2...
      3. § 3. Важнейшие теоремы и формулы школьного курса планиметрии
        1. 3.1. Справочная информация
          1. Приведём без доказательства основные теоремы планиметрии. Доказательства же...
        2. 3.2. Вопросы для самопроверки
          1. 1. а) Какое вы знаете свойство вертикальных углов? (1) б) Докажите это свой...
        3. 3.3. Задачи теоретического характера для самостоятельного решения и разбора на факультативных занятиях
          1. 1. Докажите, что (рис. 113). (1) Рис....
    4. Глава 2 Практикум по решению задач
      1. § 1. Использование формул планиметрии и тригонометрии
        1. Решение наибольшего числа задач по планиметрии предполагает знание формул планиметрии и т...
        2. 1.1. Задачи на треугольник
          1. При решении вычислительных задач на треугольник нужно знать следующие формулы (рис. 125...
        3. 1.2. Задачи на равнобедренный и равносторонний треугольники
          1. К задачам на равнобедренный треугольник применимы все формулы п. 1.1 этой главы, разве ...
        4. 1.3. Задачи на прямоугольный треугольник
          1. Для прямоугольного треугольника с катетами а, b и гипотенузой с, помимо общих формул (с...
        5. 1.4. Задачи на трапецию
          1. При решении задач на трапецию нужно помнить следующие положения: 1) ...
        6. 1.5. Задачи на параллелограмм
          1. Площадь параллелограмма со сторонами а, b и углом ? между ними вычисляется по формуле S...
        7. 1.6. Задачи на ромб
          1. Для ромба характерны все формулы для параллелограмма, только а = b. Примеры...
        8. 1.7. Задачи на прямоугольник
          1. Для прямоугольника справедливы все формулы для параллелограмма, только угол между сторо...
        9. 1.8. Задачи на квадрат
          1. Если а – сторона квадрата, d – его диагональ, то S = a2= d2/2. Примеры реше...
        10. 1.9. Задачи на n-угольник (n > 3)
          1. Для произвольного выпуклого четырёхугольника S = 1/2 d1d2 sin?. Если в четырёхугольник ...
        11. 1.10. Задачи на окружность и круг
          1. При решении задач на окружность и круг применяются следующие формулы: ...
      2. § 2. Основные идеи и методы решения планиметрических задач
        1. Если в предыдущем параграфе мы рассматривали задачи, в которых центральное место принадле...
        2. 2.1. Задачи на вписанную в треугольник окружность
          1. Если в условии задачи говорится об описанной около треугольника окружности, то в больши...
        3. 2.2. Задачи на свойства параллельных прямых
          1. В ряде задач используют свойства параллельных прямых: при пересечении двух параллельных...
        4. 2.3. Задачи на пропорциональные отрезки
          1. Теорема Фалеса (а также теоремы Чевы и Менелая) применяются в первую очередь тогда, ког...
        5. 2.4. Задачи на свойства биссектрисы треугольника
          1. Биссектриса треугольника обладает одним замечательным свойством: она делит противолежащ...
        6. 2.5. Задачи на подобие
          1. Два треугольника подобны: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём ст...
        7. 2.6. Задачи на вписанные и описанные четырёхугольники
          1. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон ра...
        8. 2.7. Задачи на вписанные углы
          1. Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дуг...
        9. 2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности
          1. Напомним свойства хорд и секущих (рис. 196). Рис. 196. ...
        10. 2.9. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований
          1. Задачи с использованием геометрических преобразований, дополнительных построений и вспо...
        11. 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами
          1. Вообще говоря, в данном случае речь идет не о частных идеях решения определенного класс...
        12. 2.11. Разные задачи
          1. Примеры решения задач 158. Можно ли утверждать, что треугольники равны по д...
    5. Глава 3 Билеты по геометрии
      1. § 1. Экзаменационный комплект № 1 (зачётная работа)
        1. Билет № 1
          1. 1. Признаки параллельности прямых (формулировки и примеры). 2. Решение треу...
        2. Билет № 2
          1. 1. Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой...
        3. Билет № 3
          1. 1. Третий признак равенства треугольников (формулировки и пример). 2. Теоре...
        4. Билет № 4
          1. 1. Теорема о сумме углов треугольника (формулировка и пример). 2. Решение т...
        5. Билет № 5
          1. 1. Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения д...
        6. Билет № 6
          1. 1. Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения...
        7. Билет № 7
          1. 1. Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения...
        8. Билет № 8
          1. 1. Теорема косинусов. Пример ее применения для решения треугольников. 2. Ок...
        9. Билет № 9
          1. 1. Теорема синусов. Пример её применения для решения треугольников. 2. Окру...
        10. Билет № 10
          1. 1. Построение с помощью циркуля и линейки треугольника по трем сторонам. 2....
        11. Билет № 11
          1. 1. Построение с помощью циркуля и линейки угла, равного данному. 2. Умножен...
        12. Билет № 12
          1. 1. Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы угла. 2. Неравенство ...
        13. Билет № 13
          1. 1. Построение с помощью циркуля и линейки перпендикулярной прямой. 2. Призн...
        14. Билет № 14
          1. 1. Деление отрезка пополам с помощью циркуля и линейки. 2. Теорема о средне...
        15. Билет № 15
          1. 1. Свойства параллелограмма (формулировки и примеры). 2. Теорема о внешнем ...
        16. Билет № 16
          1. 1. Теорема о средней линии трапеции (формулировка и пример). 2. Теорема о с...
        17. Билет № 17
          1. 1. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного n-угольника (форм...
        18. Билет № 18
          1. 1. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, пра...
        19. Билет № 19
          1. 1. Формула длины окружности (формула и пример). 2. Первый признак равенства...
        20. Билет № 20
          1. 1. Формулы площади треугольника (формулы и примеры). 2. Признаки параллелог...
        21. Билет № 21
          1. 1. Формулы площади прямоугольника и параллелограмма (формулы и примеры). 2....
        22. Билет № 22
          1. 1. Формула площади трапеции (формула и пример). 2. Признаки равенства прямо...
        23. Билет № 23
          1. 1. Формула площади круга (формула и пример). 2. Теорема Пифагора. ...
      2. § 2. Экзаменационный комплект № 2 (базовый уровень)
        1. Билет № 1
          1. 1. Равенство фигур. Признаки равенства треугольников (доказательство одного из них). ...
        2. Билет № 2
          1. 1. Сумма углов треугольника (с доказательством). Вывод формулы суммы углов выпуклого n-...
        3. Билет № 3
          1. 1. Геометрическое место центров описанной около треугольника и вписанной в треугольник ...
        4. Билет № 4
          1. 1. Свойства параллелограмма (с доказательством). 2. Геометрическое введение...
        5. Билет № 5
          1. 1. Свойства ромба, прямоугольника, квадрата (с доказательством). 2. Уравнен...
        6. Билет № 6
          1. 1. Теорема Фалеса (с доказательством). 2. Вектор. Действия над векторами. Б...
        7. Билет № 7
          1. 1. Свойство средней линии треугольника и трапеции (с доказательством). 2. Д...
        8. Билет № 8
          1. 1. Теорема Пифагора (с доказательством). 2. Пропорциональность отрезков хор...
        9. Билет № 9
          1. 1. Координаты на плоскости. Расстояние между точками (с выводом). 2. Призна...
        10. Билет № 10
          1. 1. Уравнение фигуры. Уравнение окружности (с выводом). 2. Формула для радиу...
        11. Билет № 11
          1. 1. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами (с выводом). 2. Фо...
        12. Билет № 12
          1. 1. Теорема о величине вписанного в окружность угла (с доказательством). 2. ...
        13. Билет № 13
          1. 1. Теорема косинусов (с выводом). 2. Виды движений на плоскости. ...
        14. Билет № 14
          1. 1. Теорема синусов (с выводом). 2. Признаки параллельных прямых (без доказа...
        15. Билет № 15
          1. 1. Многоугольники. Правильные многоугольники. Основные формулы для правильных n-угольни...
        16. Билет № 16
          1. 1. Касательная к окружности, ее свойство (с доказательством). 2. Формулы пл...
        17. Билет № 17
          1. 1. Свойство биссектрисы треугольника (с доказательством). 2. Прямая, обратн...
        18. Билет № 18
          1. 1. Свойство точки пересечения медиан (с доказательством). 2. Теорема о проп...
      3. § 3. Экзаменационный комплект № 3 (углубленный уровень)
        1. Билет № 1
          1. 1. Признаки равенства треугольников. 2. Соотношение между вписанным и центр...
        2. Билет № 2
          1. 1. Свойства равнобедренного треугольника. 2. Докажите, что если через произ...
        3. Билет № 3
          1. 1. Признаки равенства прямоугольных треугольников. 2. Окружность и круг. Дл...
        4. Билет № 4
          1. 1. Геометрическое место центра описанной около треугольника окружности. 2. ...
        5. Билет № 5
          1. 1. Признаки подобия треугольников. 2. Многоугольники. Правильные многоуголь...
        6. Билет № 6
          1. 1. Признаки параллельности прямых. 2. Теорема Пифагора. 3. Две ...
        7. Билет № 7
          1. 1. Докажите, что если параллельные прямые пересечены третьей прямой, то образовавшиеся ...
        8. Билет № 8
          1. 1. Касательная к окружности и её свойство. Виды касания окружностей. 2. Фор...
        9. Билет № 9
          1. 1. Свойства параллелограмма. 2. Свойство биссектрисы треугольника; длина би...
        10. Билет № 10
          1. 1. Свойства и признаки ромба, прямоугольника, квадрата. 2. Теорема синусов....
        11. Билет № 11
          1. 1. Теорема Фалеса и её обобщение (теорема о пропорциональных отрезках). 2. ...
        12. Билет № 12
          1. 1. Свойство средней линии трапеции. 2. Основные тригонометрические тождеств...
        13. Билет № 13
          1. 1. Уравнение прямой и окружности. Геометрический смысл коэффициентов k и b в уравнении ...
        14. Билет № 14
          1. 1. Векторы; действия с векторами. Скалярное произведение векторов. 2. Свойс...
        15. Билет № 15
          1. 1. Признаки параллелограмма. 2. Теорема косинусов. 3. На основа...
        16. Билет № 16
          1. 1. Критерий описанного около окружности четырёхугольника. 2. Значения синус...
        17. Билет № 17
          1. 1. Геометрическое место центра вписанной в треугольник окружности. 2. Площа...
        18. Билет № 18
          1. 1. Теорема о разложении вектора по базису. 2. Докажите, что S = рr, где S– ...
        19. Билет № 19
          1. 1. Критерий вписанного в окружность четырёхугольника. 2. Площадь треугольни...
        20. Билет № 20
          1. 1. Свойство средней линии треугольника. 2. Формулы радиусов вписанной и опи...
      4. § 4. Экзаменационный комплект № 4 (элективный уровень)
        1. Билет № 1
          1. 1. Аксиомы и теоремы. Определения. Аксиомы планиметрии. 2. Критерий вписанн...
        2. Билет № 2
          1. 1. Признаки и свойства фигур. Характеристическое свойство геометрической фигуры. Пример...
        3. Билет № 3
          1. 1. Прямая, обратная, противоположная и обратная к противоположной теоремы. Закон контра...
        4. Билет № 4
          1. 1. Геометрическое место точек. Основные геометрические места точек на плоскости. Метод ...
        5. Билет № 5
          1. 1. Вектор. Координаты вектора. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Умнож...
        6. Билет № 6
          1. 1. Движения на плоскости, их виды. Композиция движений. 2. Свойство биссект...
        7. Билет № 7
          1. 1. Преобразования плоскости. Преобразование подобия. Гомотетия. 2. Докажите...
        8. Билет № 8
          1. 1. Равенство фигур. Признаки равенства треугольников. 2. Уравнение прямой. ...
        9. Билет № 9
          1. 1. Свойства параллельных прямых. Сумма углов треугольника и выпуклого n-угольника. ...
        10. Билет № 10
          1. 1. Геометрическое место центров вписанной в треугольник и описанной около треугольника ...
        11. Билет № 11
          1. 1. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл. 2. Использова...
        12. Билет № 12
          1. 1. Признаки и свойства параллелограмма. 2. Формула Эйлера о расстоянии межд...
        13. Билет № 13
          1. 1. Аксиоматический подход в геометрии. Требования к системе аксиом. Аксиоматическая тео...
        14. Билет № 14
          1. 1. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. 2. Длина медианы тр...
        15. Билет № 15
          1. 1. Теорема Пифагора. Египетский треугольник. 2. Длина биссектрисы треугольн...
        16. Билет № 16
          1. 1. Формула расстояния от точки А(х0, у0) до прямой ах + by + с = 0. 2. Знач...
        17. Билет № 17
          1. 1. Координаты на плоскости. Расстояние между точками. 2. Теорема косинусов....
        18. Билет № 18
          1. 1. Уравнение фигуры. Уравнение окружности. 2. Базис на плоскости. Теорема о...
        19. Билет № 19
          1. 1. Касательная к окружности, её свойство. Виды касания окружностей. 2. Коор...
        20. Билет № 20
          1. 1. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. 2. Первая теорема...
    6. Глава 4 Решения и ответы к задачам
      1. § 1. Решения и ответы к задачам § 1 главы 2
        1. Задача 10 (рис. 220)
          1. Рис. 220. Решение. Пусть ВС = х, тогда AD = х – 4...
        2. Задача 11
          1. Решение. Запишем площадь треугольника тремя способами: c друго...
        3. Задача 12 (рис. 221)
          1. Рис. 221. Решение. Пусть в треугольнике ABC АС = ...
        4. Задача 13 (рис. 222)
          1. Рис. 222. Решение. Пусть в треугольнике ABC ВС = ...
        5. Задача 14 (рис. 223)
          1. Рис. 223. Решение. Пусть ABC – данный в условии з...
        6. Задача 15 (рис. 224)
          1. Рис. 224. Решение. Обозначим длину отрезка АС чер...
        7. Задача 16 (рис. 225)
          1. Рис. 225. Решение. По теореме синусов ВС = 2Rsin ...
        8. Задача 17 (рис. 226)
          1. Рис. 226. Решение. Пусть ВК и AD – медианы, прове...
        9. Задача 22 (рис. 227)
          1. Рис. 227. Решение. Пусть в треугольнике ABC АВ = ...
        10. Задача 23 (рис. 228)
          1. Рис. 228. Решение. Поскольку высота в равнобедрен...
        11. Задача 24 (рис. 229)
          1. Рис. 229. Решение. Так как BD – высота в равнобед...
        12. Задача 25
          1. Решение. Sзаштрихованного сектора = 1/3(Sкруга – Sтреугольника). Длина окружности l = 2...
        13. Задача 26 (рис. 230)
          1. Рис. 230. Решение. Пусть К – произвольная точка в...
        14. Задача 31 (рис. 231)
          1. Рис. 231. Решение. Так как AD – высота в равнобед...
        15. Задача 32 (рис. 232)
          1. Рис. 232. Решение. Обозначим угол ВАС через ?. То...
        16. Задача 33 (рис. 233)
          1. Рис. 233. Решение. Обозначим катеты прямоугольног...
        17. Задача 34 (рис. 234)
          1. Рис. 234. Решение. Пусть ABC – заданный треугольн...
        18. Задача 35 (рис. 235)
          1. Рис. 235. Решение. Пусть ABC – данный в условии з...
        19. Задача 36 (рис. 236)
          1. Рис. 236. Решение. Пусть ABC – данный в условии з...
        20. Задача 43 (рис. 237)
          1. Рис. 237. Решение. Проведём высоты трапеции ВК и ...
        21. Задача 44 (рис. 238)
          1. Рис. 238. Решение. Проведём высоты трапеции ВК и ...
        22. Задача 45 (рис. 239)
          1. Рис. 239. Решение. Пусть АК = х, высоты ВК и СМ р...
        23. Задача 46 (рис. 240)
          1. Рис. 240. Решение. Проведем высоту трапеции СК (с...
        24. Задача 47 (рис. 241)
          1. Рис. 241. Решение. По содержанию задача идентична...
        25. Задача 48 (рис. 243)
          1. Рис. 243. Решение. Так как ABCD – равнобедренная ...
        26. Задача 49 (рис. 244)
          1. Рис. 244. Решение. Пусть ABCD – данная в условиях...
        27. Задача 53 (рис. 245)
          1. Рис. 245. Решение. Исходя из условия задачи, полу...
        28. Задача 54 (рис. 246)
          1. Рис. 246. Решение. Так как по условию BD = 6, АС ...
        29. Задача 55 (рис. 247)
          1. Рис. 247. Решение. С целью упрощения арифметическ...
        30. Задача 58 (рис. 248)
          1. Рис. 248. Решение. Пусть в ромбе ABCD BD = АВ = A...
        31. Задача 59 (рис. 249)
          1. Рис. 249. Решение. Начертим ромб ABCD. По условию...
        32. Задача 60 (рис. 250)
          1. Рис. 250. Решение. Во-первых, раз ...
        33. Задача 64 (рис. 251)
          1. Рис. 251. Решение. Так как ?BAC/?CAD = 1/2, а ?ВА...
        34. Задача 65 (рис. 252)
          1. Рис. 252. Решение. Пусть AD = а, АВ = b. По услов...
        35. Задача 66 (рис. 253)
          1. Рис. 253. Решение. Для определённости будем счита...
        36. Задача 70 (рис. 254)
          1. Рис. 254. Решение. Как видно из рисунка, диаметр ...
        37. Задача 71 (рис. 255)
          1. Рис. 255. Решение. Пусть сторона малого квадрата ...
        38. Задача 72 (рис. 256)
          1. Рис. 256. Решение. MNKLPTQS – правильный восьмиуг...
        39. Задача 73 (рис. 257)
          1. Рис. 257. Решение. Очевидно, что MNKL – квадрат. ...
        40. Задача 76 (рис. 258)
          1. Рис. 258. Решение. Можно, конечно, пуститься в до...
        41. Задача 77 (рис. 259)
          1. Рис. 259. Решение. Пусть сторона равностороннего ...
        42. Задача 78 (рис. 260)
          1. Рис. 260. Решение. Пусть ABCD – данный четырёхуго...
        43. Задача 85 (рис. 261)
          1. Рис. 261. Решение. Составим пропорции: ?10? длина...
        44. Задача 86 (рис. 262)
          1. Рис. 262. Решение. Так как ОА = 2r, то из прямоуг...
        45. Задача 87 (рис. 263)
          1. Рис. 263. Решение. Так как BD = 6, АС = 12, то PD...
        46. Задача 88 (рис. 264)
          1. Рис. 264. Решение. Пусть О – центр вписанной в тр...
        47. Задача 89 (рис. 265)
          1. Рис. 265. Решение. Пусть радиус большого круга ра...
        48. Задача 90 (рис. 266)
          1. Рис. 266. Решение. Т. к. ?ABC – равносторонний, т...
        49. Задача 91 (рис. 267)
          1. Рис. 267. Решение. Пусть точка О – центр окружнос...
      2. § 2. Решения и ответы к задачам § 2 главы 2
        1. Задача 94 (рис. 268)
          1. Рис. 268. Решение. Решение задачи непосредственно...
        2. Задача 95 (рис. 269, 270)
          1. Рис. 269. Рис. 270. Реше...
        3. Задача 96 (рис. 271)
          1. Рис. 271. Решение. Обозначим через А вершину прям...
        4. Задача 99 (рис. 272)
          1. Рис. 272. Решение. Так как ?BCD = 60°, то ?D = 12...
        5. Задача 100 (рис. 273)
          1. Рис. 273. Решение. Так как ?А = 60°, то ?ABC = 12...
        6. Задача 101 (рис. 274)
          1. Рис. 274. Решение. ?AFB = ?FBC, как внутренние на...
        7. Задача 105 (рис. 275)
          1. Рис. 275. Решение. Проведём MP||СК, тогда по теор...
        8. Задача 106 (рис. 276)
          1. Рис. 276. Решение. Чтобы найти отношение СК/КМ, п...
        9. Задача 109 (рис. 277)
          1. Рис. 277. Решение. Так как АМ = 2, то по свойству...
        10. Задача 110 (рис. 278)
          1. Рис. 278. Решение. Пусть ВМ – медиана, а ВН – выс...
        11. Задача 118 (рис. 279)
          1. Рис. 279. Решение. Пусть АС = а; АВ = ВС = b, BF ...
        12. Задача 119 (рис. 280)
          1. Рис. 280. Решение. Так как СЕ = 4, то BE = 11. Из...
        13. Задача 120 (рис. 281)
          1. Рис. 281. Решение. Пусть BD = х, DE = а. Из подоб...
        14. Задача 121 (рис. 282)
          1. Рис. 282. Решение. Пусть AD = х. ?BOF ~ ?AOD по р...
        15. Задача 122 (рис. 283)
          1. Рис. 283. Решение. Обозначим радиус большей окруж...
        16. Задача 123 (рис. 284)
          1. Рис. 284. Решение. Обозначим сторону квадрата GDE...
        17. Задача 124 (рис. 285)
          1. Рис. 285. Решение. Пусть ВР = a; PR = b; RD = с. ...
        18. Задача 125
          1. Рис. 286. Решение. ?РВС подобен ?PAD, поэтому РВ/...
        19. Задача 126 (рис. 287)
          1. Рис. 287. Решение. Из прямоугольных треугольников...
        20. Задача 129 (рис. 288)
          1. Рис. 288. Решение. Соединим центр окружности О с ...
        21. Задача 130 (рис. 289)
          1. Рис. 289. Решение. Так как в трапецию можно вписа...
        22. Задача 131 (рис. 290)
          1. Рис. 290. Решение. Пусть ABCD – данная трапеция, ...
        23. Задача 135 (рис. 291)
          1. Рис. 291. Решение. По теореме о величине вписанно...
        24. Задача 136 (рис. 292)
          1. Рис. 292. Решение. Пусть точка А делит хорду ВС н...
        25. Задача 137
          1. Рис. 293. Решение I (рис. 293). Обозначим точки п...
        26. Задача 138 (рис. 295)
          1. Рис. 295. Решение. Так как BD – диаметр окружност...
        27. Задача 141
          1. Решение. OB = 4; ВС = 3, значит ОС = 7. OB ? ОС = ОА2; 4 ? 7 = OA2; OA = 2?7. ...
        28. Задача 146 (рис. 296)
          1. Рис. 296. Решение. Достроим ?ABD до параллелограм...
        29. Задача 147 (рис. 297)
          1. Рис. 297. Решение. Достаточно построить симметрич...
        30. Задача 148 (рис. 298)
          1. Рис. 298. Решение. Так как средняя линия трапеции...
        31. Задача 154 (рис. 299)
          1. Рис. 299. Решение. Пусть D – проекция точки F на ...
        32. Задача 155 (рис. 300)
          1. Рис. 300. Решение. Переведём условие задачи на ве...
        33. Задача 156 (рис. 301)
          1. Рис. 301. Решение. Высота равнобедренного треугол...
        34. Задача 157
          1. Решение. Имеем (PA + РВ + PC)2? 0, причем равенство достигается только тогда, когда Р –...
        35. Задача 163 (рис. 302)
          1. Рис. 302. Решение. Пусть ЕК = КМ = MF = а. ЕК – с...
        36. Задача 164 (рис. 303)
          1. Рис. 303. Решение. NK и MP – средние линии в ?BCD...
        37. Задача 165 (рис. 304)
          1. Рис. 304. Решение. Очевидно, что MNPQ – параллело...
        38. Задача 166 (рис. 305)
          1. Рис. 305. Решение. SABCD = 1/2 BD ? AC ? sin ? = S. Sпараллело...
        39. Задача 167 (рис. 306)
          1. Рис. 306. Решение. Обозначим точку на диагонали, ...
        40. Задача 168 (рис. 307)
          1. Рис. 307. Решение. Пусть ABCD – данный в условии ...
      3. § 3. Ответы к задачам экзаменационных комплектов
        1. Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 1
          1. Билет № 1 3) 74°. 4) ?1/?2 = R2/R1. Билет № 2 ...
        2. Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 2
          1. Билет № 1 3) 37,9 дм. 4) 5) 12 см. ...
        3. Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 3
          1. Билет № 1 3) ?3a2/4 (задача 99; см. решение на стр. 155). 4) 84...
        4. Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 4
          1. Билет № 1 4) R = 9/2 (задача 126; см. решение на стр. 159). 5) ...