Для любой точки αна сфере Римана антиподальной является точка —1/ α'. Таким образом, если отразить все майорановы точки, являющиеся корнями полинома
a( x) ≡ a 0+ a 1 x+ a 2 x 2+ a 3 x 3+ … + a n- 1 x n- 1 + a nx n,
относительно центра сферы, то мы получим корни полинома
a*( x) ≡ a' n - a' n- 1 x+ a' n- 2 x 2- … - (—1) na' 1 x n-1+ (—1) na' 0 x n.
Пусть состояния | α〉 и | β〉 заданы, соответственно, полиномами a( x) и b( x), где
b( x) ≡ b 0+ b 1 x+ b 2 x 2+ b 3 x 3+ … + b n- 1 x n- 1 + b nx n;
тогда их скалярное произведение имеет вид
〈 β| α〉 = b' 0 a 0+ (1/ n) b' 1 a 1+ (2!/ n( n- 1)) b' 2 a 2+ (3!/ n( n- 1)( n- 2)) b' 3 a 3+ … + b' na n.
Это выражение инвариантно относительно вращений сферы, что можно непосредственно доказать, используя вышеприведенные формулы.
Применим полученное выражение для скалярного произведения к конкретному случаю b( x) = a*( x), т.е. к случаю двух состояний, майораново описание одного из которых состоит исключительно из точек, антиподальных точкам, составляющим майораново описание другого. Их скалярное произведение равно (с точностью до знака)
a 0 a n- (1/ n) a 1 a n- 1+ (2!/n(n -1)) a 2 a n- 2- … - (—1) n (1/ n)a n - 1a 1+ (—1) na na 0.
Нетрудно заметить, что при отрицательном nвсе члены выражения взаимно уничтожаются, а значит, можно сформулировать следующую теорему (напомним, что состояние, майораново описание которого имеет вид, скажем, P, Q, …, S, обозначается через |PQ…S〉; точка, антиподальная X, обозначается X*):
C.1Если nнечетно, то состояние |PQR…T〉 ортогонально состоянию |P*Q*R*…T*〉.
Из общего выражения для скалярного произведения можно вывести еще два свойства:
C.2Состояние |PPP…P〉 ортогонально любому из состояний |P*AB…D).
C.3Состояние |QPP…P〉 ортогонально состоянию |ABC…E〉 в тех случаях, когда стереографическая проекция (из P*) точки Q* совпадает с центром тяжести множества стереографических проекций (из P*) точек A, B, C, …, E.
(Центром тяжести множества точек называют центр тяжести совокупности равных точечных масс, размещенных в этих точках. О стереографических проекциях мы говорили в §5.10, рис. 5.19.) Для доказательства C.3развернем сферу так, чтобы точка P* стала ее южным полюсом. Тогда состоянию |QPP…P〉 соответствует полином x n - 1( x - χ), где χопределяет точку Q на сфере Римана. Вычислив скалярное произведение этого состояния с состоянием, представленным полиномом ( x - α 1)( x - α 2)( x - α 3)…( x - α n), майораново описание которого составляют корни α 1, α 2, α 3, …, α n, находим, что это произведение обращается в нуль, когда
1 + n —1 χ'( α 1+ α 2 + α 3+ … + α n) = 0,
т.е. когда —1/ χ' равно ( α 1+ α 2 + α 3+ … + α n)/ n, иначе говоря, когда точка —1/ χ' является центром тяжести (на комплексной плоскости) множества точек α 1, α 2, α 3, …, α n. Что и доказывает свойство C.3. Для того чтобы доказать C.2, поместим в южный полюс точку P. Тогда состоянию |PPP…P〉 соответствует постоянная величина, 1. Если рассматривать ее как полином степени n, то соответствующее скалярное произведение обращается в нуль, когда
α 1 α 2 α 3… α n= 0,
т.е. когда хотя бы одна точка из множества α 1, α 2, α 3, …, α nравна 0 или, что то же самое, совпадает с северным полюсом сферы — в данном случае, с точкой P*. Что, собственно, и требовалось доказать.
Свойство C.2позволяет интерпретировать майорановы точки в физическом смысле. Исходя из него, можно предположить, что эти точки определяют направления, измерение (типа измерения Штерна—Герлаха) спина в которых дает нулевую вероятность того, что полученное в результате измерения направление оси спина окажется диаметрально противоположным тому направлению, в котором это измерение выполнялось (см. НРК, с. 273). Кроме того, из C.2можно вывести свойство для частного случая: если спин равен 1/2 ( n= 1), то ортогональными являются исключительно те состояния, майорановы точки которых антиподальны. Свойство C.3позволяет получить общую геометрическую интерпретацию ортогональности в случае спина 1 ( n= 2). Примечателен частный случай, когда имеются два состояния, представленные в виде двух пар антиподальных точек, причем прямые, соединяющие эти точки, пересекаются в центре сферы под прямым углом. В случае спина 3/2 ( n= 3) свойства C.3(с некоторой оглядкой на C.1) вполне достаточно для подкрепления объяснений, предложенных в §5.18. (Геометрическую интерпретацию ортогональности в общем случае я здесь давать не буду; может быть, как-нибудь в другой раз.)
Упоминаемое в §5.18частное следствие из C.3относится к частному случаю, когда P и Q являются соседними вершинами куба, вписанного в сферу Римана, т.е. PQ и Q*P* — противоположные ребра этого куба. Длина отрезка PQ* (или QP*) равна длине PQ (или P*Q*), умноженной на √2. Посредством несложных геометрических рассуждений можно показать, что состояния |P*PP〉 и |Q*QQ〉 ортогональны.
6. Квантовая теория и реальность
6.1. Является ли R реальным процессом?
В предыдущей главе мы сделали попытку понять и принять головоломные Z-загадки квантовой теории. Не все эти феномены получили на настоящий момент экспериментальное подтверждение — например, квантовая сцепленность на расстоянии нескольких световых лет {72} — и тем не менее, уже накопленных экспериментальных данных, свидетельствующих о существовании такого рода эффектов, вполне достаточно, чтобы убедиться в том, что Z-загадки и в самом деле следует принимать всерьез, поскольку они отражают истинные аспекты поведения самых разных объектов, составляющих тот мир, в котором мы живем.