В следующей главе мы попытаемся ответить на эти каверзные вопросы. Я убежден, что именно они являются центральными в нашем поиске места невычислимости в физических процессах.
Приложение B: Нераскрашиваемость додекаэдра
Напомним условие задачи, поставленной в §5.3. Предлагается показать, что невозможно раскрасить все вершины додекаэдра в БЕЛЫЙ и ЧЕРНЫЙ цвета, соблюдая следующие условия: две «следующие соседние» вершины не могут обе быть БЕЛЫМИ, а шесть вершин, соседних с двумя противоположными (антиподальными) вершинами, не могут быть все ЧЕРНЫМИ. При исключении возможных вариантов раскраски чрезвычайно полезной оказывается симметричность додекаэдра.
Обозначим вершины, как указано на рис. 5.29. Вершины A, B, C, D и E образуют ближайшую к нам пятиугольную грань додекаэдра; дальше, в том же порядке, следуют соседние с ними вершины F, G, H, I и J. Как и в §5.18, соответствующие антиподальные вершины обозначены через A*, …, J*. Для начала отметим, что, согласно второму свойству условия, среди вершин додекаэдра хотя бы одна должна быть БЕЛОЙ — пусть это будет A.
Предположим теперь, что среди непосредственных соседей БЕЛОЙ вершины A имеется еще одна БЕЛАЯ вершина — скажем, B (см. рис. 5.29). Тогда все десять вершин, окружающие эту пару, — C, D, E, J, H*, F, I*, G, J* и H — должны быть ЧЕРНЫМИ, так как каждая из них является следующей соседней по отношению либо к A, либо к B. Далее, возьмем шесть вершин, соседних с вершинами из антиподальной пары H, H*. В этой шестерке должна быть хотя бы одна БЕЛАЯ вершина, значит, БЕЛОЙ будет либо F*, либо C* (или обе сразу). Проделав ту же процедуру с парой J, J*, приходим к выводу, что здесь БЕЛОЙ должна быть либо вершина G*, либо E* (или, опять же, обе сразу). Но это невозможно! И G*, и E* являются следующими соседними по отношению как к F*, так и к С*. Следовательно, вариант, когда у БЕЛОЙ вершины А имеется БЕЛЫЙ же непосредственный сосед, исключается — в самом деле, ввиду симметричности додекаэдра, невозможной оказывается любая пара соседних БЕЛЫХ вершин.
Таким образом, вершина A должна быть окружена исключительно ЧЕРНЫМИ вершинами B, C, D, E, J, H*, F, I* и G, поскольку каждая из этих вершин является по отношению к A либо соседней, либо следующей соседней. Обратим наше внимание на шесть вершин, соседних с вершинами из антиподальной пары A, A*. Очевидно, что одна из вершин B*, E* или F* должна быть БЕЛОЙ, причем, в силу симметричности додекаэдра, неважно, какая именно, — пусть будет F*. Отметим, что вершины E* и G* являются следующими соседними по отношению к F*, значит, они обе должны быть ЧЕРНЫМИ; ЧЕРНОЙ должна быть и вершина H, поскольку она соседствует с F*, а мы только что исключили возможность существования соседних БЕЛЫХ вершин. Однако так раскрашивать вершины нельзя, потому что при этом всесоседи антиподальных вершин J, J* оказываются ЧЕРНЫМИ. Вот, собственно, и все доказательство — в классическоммире магические додекаэдры невозможны!
Приложение C: Ортогональность общих спиновых состояний
Предложенное Майораной обобщенное описание спиновых состояний не пользуется широкой известностью среди физиков, хотя оно весьма удобно и геометрически наглядно. Я расскажу здесь вкратце об основных формулах и о некоторых их геометрических приложениях. Мы, в частности, получим необходимые для рассуждения в §5.18отношения ортогональности, определяющие геометрию магических додекаэдров. Мои описания существенно отличаются от тех, что первоначально сформулировал Майорана [ 252], приближаясь, скорее, к описаниям, данным в [ 299] и [ 396].
Идея заключается в том, что берется неупорядоченное множество из п точек на сфере Римана, каковые точки рассматриваются как корни комплексного полинома степени n, коэффициенты которого, в свою очередь, используются в качестве координат ( n+ 1)-мерного гильбертова пространства спиновых состояний (массивной) частицы со спином 1/2 n. Как и в §5.10, основными состояниями будем считать различные возможные результаты измерения спина в вертикальном направлении; представим эти состояния в виде одночленов (добавив соответствующие нормирующие множители, чтобы сохранить единичную длину векторов состояний):
|↑↑↑↑…↑↑〉 — x n
|↓↑↑↑…↑↑〉 — n 1/2 x n-1
|↓↓↑↑…↑↑〉 — { n( n- 1)/2!} 1/2 x n-2
|↓↓↓↑…↑↑〉 — { n( n- 1)( n- 2)/3!} 1/2 x n-3
…
|↓↓↓↓…↓↑〉 — n 1/2 x
|↓↓↓↓…↓↓〉 — 1.
(Выражения в фигурных скобках — биномиальные коэффициенты.) Таким образом, общее состояние спина 1/2 n,
z 0|↑↑↑…↑↑〉 + z 1|↓↑↑…↑↑〉 + z 2|↓↓↑…↑↑〉 + z 3|↓↓↓…↑↑〉 + … + z n|↓↓↓…↓↓〉,
представляется в виде полинома
p( x) = a 0+ a 1 x+ a 2 x 2+ a 3 x 3+ … + a nx n,
где
a 0= z 0, a 1= n 1/2 z 1, a 2= { n( n- 1)/2!} 1/2 z 2, … a n= z n.
Корням x= α 1, α 2, α 3, …, α nполинома p( x) = 0 соответствуют nточек на сфере Римана, определяющие описание Майораны. Допускается и майоранова точка, задаваемая корнем x= ∞, — южный полюс сферы, — это происходит, когда степень полинома P( x) оказывается меньше nна величину, определяемую кратностью этой точки.
Вращение сферы осуществляется посредством следующего преобразования: сначала выполняем замену
x ↦ ( λx- μ)( λ' x+ μ') —1
(где λλ' + μμ' = 1), а затем избавляемся от знаменателей, умножив все выражение на ( μ' x+ λ') n . Таким образом, можно получить полиномы, соответствующие результатам измерений (скажем, с помощью установки Штерна—Герлаха) спина в произвольно выбранном направлении, что дает выражения вида
c( λx- μ) p ( λ' x+ μ') n- p.
Точки, задаваемые отношениями μ/ λи — μ'/ λ', являются антиподальными на сфере Римана и соответствуют направлению измерения спина и направлению, противоположному ему. (Это предполагает некий подходящий выбор фаз для состояний |↑↑↑…↑〉, |↓↑↑…↑〉, |↓↓↑…↑〉, …, |↓↓↓…↓〉. Вышеупомянутые свойства и их детальные обоснования удобнее всего рассматривать в терминах 2-спинорного формализма. За подробностями отсылаю читателя к [ 301], с. 162 и §4.15. Общее состояние спина 1/2 nописывается там через симметрический n-валентный спинор, при этом майораново описание выводится из канонического разложения спинора на симметризованное произведение спиновых векторов.)