Следует особо подчеркнуть, что это понятие «И» не имеет ничего общего с квантовой линейной суперпозицией, которая записывается как сумма векторов состояний | α〉 + | β〉 или, в общем случае, z| α〉 + w| β〉, где zи w— комплексные весовые коэффициенты. Например, если | α〉 и | β〉 — возможные состояния одного фотона (соответствующие, скажем, его расположению в различных точках A и B), то запись | α〉 + | β〉 также представляет возможное состояние того же самогофотона, при котором он замирает в нерешительности где-то между A и B в соответствии с маловразумительными предписаниями квантовой теории, —  одногофотона, заметим, никак не двух. Состояние парыфотонов, при котором один находится в точке A, а другой — в точке B, будет представлено уже вектором | α〉| β〉.

Тензорное произведение подчиняется тем же алгебраическим правилам, каким, по нашим представлениям, и должно подчиняться любое уважающее себя произведение:

разве что равенство | α〉| β〉 = | β〉| α〉, строго говоря, некорректно. Это, впрочем, отнюдь не означает, что интерпретация понятия «И» в квантовомеханическом контексте предполагает, что совокупная система «| α〉 и | β〉» физически чем-то отличается от совокупной системы «| β〉 и | α〉». Мы попробуем обойти эту проблему посредством несколько более глубокого погружения в таинства действительного поведения Вселенной на квантовом уровне. В дальнейшем под записью | α〉| β〉 мы будем подразумевать не то, что математики называют «тензорным произведением», а скорее то, что в математической физике (с недавних пор) называется грассмановым произведением. Тогда к записанным выше можно добавить еще одно правило:

Знак «минус» появляется здесь лишь в том случае, когда обасостояния (| α〉 и | β〉) «охватывают» нечетное количество частиц с нецелочисленным спином. (Такие частицы называются фермионами, а их спин принимает значения 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, …. Частицы со спином 0, 1, 2, 3, … называются бозонамии на знак в приведенном выше выражении никак не влияют.) Впрочем, на данном этапе читателю нет необходимости вникать во все эти формальности. До тех пор, пока нас занимает лишь скрывающееся за описанием физическое состояние, «| α〉 и | β〉» ничем не отличается от «| β〉 и | α〉».

Для описания состояний с тремя или большим количеством независимых компонентов мы просто повторяем процедуру. Так, если обозначить индивидуальные состояния этих трех компонентов через | α〉, | β〉 и I7), то состояние, в котором все три компонента наличествуют одновременно, описывается произведением

причем грассманово произведение (| α〉| β〉)| γ〉 (или, что эквивалентно, | α〉(| β〉| γ〉)) описывает то же самое состояние. Аналогичным образом рассматриваются и системы с четырьмя или более независимыми компонентами.

Следует упомянуть и об одном важном свойстве шрёдингеровой эволюции U: эволюция совокупной системы | α〉| β〉 (где | α〉 и | β〉 никак друг с другом не взаимодействуют) есть не что иное, как совокупность эволюции индивидуальных систем. Так, если по истечении некоторого времени tсистема | α〉 эволюционирует (индивидуально) в систему | α'〉, а система | β〉 эволюционирует (индивидуально) в систему | β'〉, то совокупная система | α〉| β〉 за то же время tэволюционирует в систему | α'〉| β'〉. Аналогично, если у нас имеется три невзаимодействующих компонента | α〉, | β〉 и | γ〉, эволюционирующих, соответственно, в | α'〉, | β'〉 и | γ'〉 то совокупная система | α〉| β〉| γ〉 посредством той же эволюции переходит в состояние | α'〉| β'〉| γ'〉. То же верно для четырех и более компонент.

Отметим, что свойство это очень похоже на свойство  линейностиэволюции U(см. §5.7), согласно которому результат эволюции суперпозиции состояний в точности совпадает с суперпозицией результатов эволюции отдельных состояний. Состояние | α〉 + | β〉, например, эволюционируете | α'〉 + | β'〉. Тем не менее, речь в обоих случаях идет о совершенно разныхвещах, и очень важно об этой разнице не забывать. Нет ничего удивительного в том, что система, составленная из невзаимодействующих независимых компонентов, эволюционирует — как целое — так, словно ни один из ее отдельных компонентов понятия не имеет о присутствии в системе остальных. Независимость компонентов (т.е. полное отсутствие каких бы то ни было взаимодействий между ними) в данном случае — существенное условие, иначе свойство не «работает». Свойство линейности же оказывается поистине неожиданным. Получается, что под действием Uсистемы-суперпозиции состояний эволюционируют как набор отдельных, полностью изолированных друг от друга состояний  независимоот того, изолированы эти состояния в действительности или между ними существуют какие-то взаимодействия. Одного этого достаточно, чтобы усомниться в абсолютной справедливости свойства линейности. И все же эволюция Uлинейна (и тому есть многочисленные подтверждения), но лишь в отношении феноменов, целиком и полностью ограниченных квантовым уровнем. Нарушение же линейности происходит, по всей видимости, исключительно под действием процедуры R. К этому вопросу мы еще вернемся.

5.16. Ортогональность произведений состояний

С ортогональностью произведений состояний (в том виде, в каком я определил эти произведения выше) дела обстоят не так просто, как хотелось бы. Допустим, у нас имеется два ортогональных состояния| α〉 и | β〉; тогда мы вправе ожидать, что состояния | ψ〉| α〉 и | ψ〉| β〉 также будут ортогональными, причем при любом | ψ〉. Пусть, например, | α〉 и | β〉 — возможные альтернативные состояния фотона, где | α〉 — состояние фотона, зарегистрированного неким фотоэлементом, а ортогональное | α〉 состояние | β〉 — предполагаемоесостояние фотона в случае, когда фотоэлемент не регистрирует ничего (нулевое измерение). Можно представить себе, что наш фотон является компонентом некоей совокупной системы — просто добавим к нему еще какой-нибудь объект (например, другой фотон, скажем, где-нибудь на Луне) и обозначим состояние этого другого объекта через | ψ〉. Таким образом, для нашей совокупной системы возможны два альтернативных состояния — | ψ〉| α〉 и | ψ〉| β〉. Простое добавление состояния | ψ〉 в имеющееся описание не должно, разумеется, оказать никакого влияния на ортогональность двух первоначальных состояний. В самом деле, если говорить об определении произведения состояний в терминах обычного «тензорного произведения» (или необычного — в данном случае, грассманова произведения, а точнее, некоторой его модификации, используемой в наших рассуждениях), то так оно и есть, и из ортогональности состояний | α〉 и | β〉 действительно следует ортогональность | ψ〉| α〉 и | ψ〉| β〉.