Отметим, что отношение ортогональности является симметричным (поскольку 〈 ψ¯| ¯φ〉 = 〈 φ| ψ〉). Более того, произведение 〈 ψ| ψ〉 всегда представляет собой неотрицательное вещественное число, из какового числа легко извлекается неотрицательный квадратный корень, который мы можем называть длиной(или величиной) вектора | ψ〉.

Поскольку при умножении любого вектора состояния на ненулевое комплексное число физическая интерпретация этого вектора никаких изменений не претерпевает, мы всегда можем нормироватьсостояние таким образом, чтобы длина соответствующего вектора стала равна единице, получив в результате так называемый единичный вектор, или нормированное состояние. Тут, впрочем, имеется некоторая неясность, так как мы можем умножить вектор состояния и на чистую фазу (число вида e ^iθ, где θ— вещественное число; см. §5.10).

5.13. Описание редукции R в терминах гильбертова пространства

Как в терминах гильбертова пространства представить процедуру R? Рассмотрим простейший случай измерения (типа «да/нет»), при котором прибор делает запись ДАпри достоверном обнаружении у измеряемого квантового объекта некоторого свойства и НЕТ, если обнаружить данное свойство не удается (или, что то же самое, прибор обнаруживает достоверное указание на то, что таким свойством измеряемый квантовый объект не обладает). Этот случай включает в себя и ту возможность, которая нас в настоящий момент как раз и интересует, — вариант НЕТможет оказаться нулевымизмерением. Подобные измерения выполняют, например, детекторы фотонов из §5.8. Они регистрируют результат ДА, обнаруживая прибытие фотона, и НЕТ, если обнаружения фотона не произошло. В данном случае измерение НЕТявляется не чем иным, как нулевым измерением — измерением оно при этом быть не перестает, вследствие чего состояние системы «скачком» переходит в состояние, ортогональное тому, какое наблюдалось бы, получи мы при измерении результат ДА. Аналогичным образом, к нулевым можно непосредственно отнести и измерения спина (для атома со спином 1/2) в опыте Штерна—Герлаха; можно говорить, что измерение дает результат ДА, если обнаруживается, что атом имеет спин |↑〉 (что происходит, когда атом отклоняется в сторону, соответствующую направлению «вверх»), или НЕТ, если атом в эту сторону не отклоняется, что дает нам спиновое состояние, ортогональное состоянию |↑〉, т.е. |↓〉.

Более сложные измерения всегда можно представить в виде последовательности измерений типа «да/нет». Рассмотрим, например, атом со спином 1/2 n. Чтобы не упустить ни одного из  n+ 1 различных возможных результатов измерения доли спина, ориентированного в направлении «вверх», начнем с того, что зададим вопрос, не находится ли атом в спиновом состоянии, например, |↑↑…↑〉. Для ответа на вопрос попытаемся обнаружить атом в луче, соответствующем этому спиновому состоянию «единодушно вверх». Если измерение дает ответ ДА, то на этом наши мучения и заканчиваются. Если же мы получаем НЕТ, то измерение оказывается нулевым, и мы переходим к следующему вопросу: «Не находится ли атом в спиновом состоянии |↓↑…↑〉?» И так далее. Каждый раз ответ НЕТследует считать нулевым измерением, каковое указывает лишь на то, что в данном случае не был получен ответ ДА. Запишем наши рассуждения более подробно. Предположим, что первоначально атом находится в спиновом состоянии

а мы выполняем измерение с целью выяснить, не ориентирован ли весь спин атома в направлении «вверх». Получив ответ ДА, мы удостоверяемся в том, что атом действительно находится в состоянии |↑↑↑…↑〉, или, если точнее, «перескакивает» в состояние |↑↑↑…↑〉 при измерении. Если же ответ НЕТ, то измерение является нулевым, и приходится предположить, что первоначальное состояние «перескакивает» в ортогональное состояние

Мы выполняем следующее измерение, на этот раз желая выяснить не находится ли атом в состоянии |↓↑↑…↑〉. Получив при этомизмерении ответ ДА, мы говорим, что атом и в самом деле находится в состоянии |↓↑↑…↑〉 или, что правильнее, «перескакивает» в состояние |↓↑↑…↑〉 в результате измерения. Если же мы получаем ответ НЕТ, то происходит «скачок» в следующее состояние,

и так далее.

Эти «скачки», совершаемые (или, по крайней мере,  кажущиесясовершаемыми) вектором состояния, олицетворяют собой наиболее головоломный аспект квантовой теории. Думаю, недалеко от истины утверждение, что большинство квантовых физиков либо испытывают немалые трудности, пытаясь примириться с тем фактом, что подобные «скачки» неотъемлемо присущи объективной физической реальности, либо вообще отказываются признавать, что реальность может вести себя столь абсурдным образом. Тем не менее, какой бы точки зрения относительно связи описываемых здесь процессов с «реальностью» мы ни придерживались, упомянутые «скачки» представляют собой существенный элемент квантового формализма.

В предыдущем рассуждении я воспользовался правилом, иногда называемым проекционным постулатоми однозначно определяющим форму подобных «скачков» (например, состояние z ₀|↑↑↑…↑〉 + z ₁|↓↑↑…↑〉 + … + z _n|↓↓↓…↓〉 Должно «перескакивать» в состояние z ₁|↓↑↑…↑〉 + … + z _n|↓↓↓…↓〉). Название постулата обусловлено геометрическими соображениями, в чем мы вскоре убедимся. По мнению некоторых физиков, проекционный постулат представляет собой несущественное допущение квантовой теории. Физики эти, впрочем, имеют в виду, как правило, отнюдь не нулевые измерения, но измерения, при которых квантовое состояние нарушаетсянеким физическим взаимодействием. Такое нарушение происходит, когда измерение (в вышеописанных примерах) дает ответ ДА, т.е. детектор регистрирует фотон, поглощая его при этом, а атом по прохождении установки Штерна—Герлаха оказывается в некотором конкретном луче (что опять же означает ДА). Для рассматриваемого же нулевого измерения (т.е. измерения, при котором мы получаем ответ НЕТ) проекционный постулат оказывается как нельзя более существенным, поскольку без него никак невозможно узнать, что квантовая теория думает (и, кстати, правильно думает) по поводу измерений, следующих за нулевым.

Для того, чтобы получить более наглядное представление о смысле проекционного постулата, попробуем описать происходящее в терминах гильбертова пространства. Для этого введем понятие примитивногоизмерения. Примитивным я буду называть измерение типа «да/нет», при котором результат ДАозначает, что система находится в некотором определенном квантовом состоянии | α〉 (либо в кратном ему состоянии u| α〉. где u≠ 0) — или только что в это состояние «перескочила». Таким образом, в случае примитивного измерения результат ДАопределяет физическое состояние системы как нечто конкретное и единственное, тогда как результат НЕТможет предполагать несколько альтернативных вариантов развития событий. Примитивными являются, например, описанные выше измерения спина, посредством которых мы пытались установить, не находится ли спин в том или ином состоянии (скажем, в состоянии |↓↓↑…↑〉).

При примитивном измерении результат НЕТ проецируетсостояние системы на состояние, ортогональное | α〉. На рис. 5.24представлена геометрическая интерпретация этой процедуры. За начальное состояние примем состояние | ψ〉 (обозначенное на рисунке большой стрелкой) — в результате измерения оно «перескакивает» либо в состояние, кратное | α〉 (если ответ ДА), либо проецируется на состояние, ортогональное | α〉 (если ответ НЕТ). Со случаем НЕТникаких дополнительных проблем не возникает — согласно стандартной квантовой теории, именно такого результата и следует ожидать. В случае же ответа ДАситуация осложняется тем, что здесь квантовая система вступает во взаимодействие с измерительным устройством, переходя в состояние, значительно более хитроумное, нежели просто | α〉. Результатом такой эволюции оказывается, в общем случае, так называемое сцепленное состояние, «сплетающее» в одно целое исходную квантовую систему и измерительное устройство. (Сцепленные состояния мы рассмотрим в §5.17.) Тем не менее, дальше квантовая система должна эволюционировать так, будтоона и в самом деле перескочила в состояние, кратное | α〉; в противном случае последующая эволюция системы становится неоднозначной.