Теперь мы можем окончательно вычислить третью космическую скорость. Это скорость, с которой надо вывести ракету, чтобы, выйдя из сферы земного притяжения, она имела скорость 12 км/с. Воспользовавшись формулой, приведенной только что, получим:
v 3 2= (11) 2+ (12) 2,
откуда v 3= 16 км/с.
Итак, имея скорость около 11 км/с, тело покинет Землю, но «далеко» такой снаряд не уйдет; Земля его отпустила, но Солнце не даст ему свободы. Он превратится в спутника Солнца.
Оказывается, что скорость, необходимая для межзвездного путешествия, всего лишь в полтора раза больше скорости, нужной для путешествия по солнечной системе внутри земной орбиты. Правда, как уже говорилось, всякое заметное увеличение начальной скорости снаряда сопряжено с немалыми техническими трудностями ( см. стр. 82).
Как движутся планеты
На вопрос, как движутся планеты, можно ответить кратко: повинуясь закону тяготения. Ведь силы тяготения – единственные силы, приложенные к планетам.
Так как масса планет много меньше массы Солнца, то силы взаимодействия между планетами не играют большой роли. Каждая из планет движется почти так, как это диктует ей сила притяжения одного лишь Солнца, словно других планет и не существует.
Законы движения планеты вокруг Солнца следуют из закона всемирного тяготения.
Впрочем, исторически дело было не так. Законы движения планет были найдены замечательным немецким астрономом Иоганном Кеплером до Ньютона без помощи закона тяготения на основании почти двадцатилетней обработки астрономических наблюдений.
Пути, или, как говорят астрономы, орбиты, которые описывают планеты около Солнца, очень близки к окружностям.
Как связан период обращения планеты с радиусом ее орбиты?
Сила тяготения, действующая на планету со стороны Солнца, равна
где М– масса Солнца, m– масса планеты, r– расстояние между ними.
Но F/ mесть, согласно основному закону механики, не что иное, как ускорение, и притом центростремительное:
Скорость планеты можно представить как длину окружности 2π r, поделенную на период обращения T. Подставив v= 2π R/ Tи значение силы Fв формулу ускорения, получим:
Коэффициент пропорциональности перед r 3есть величина, зависящая только от массы Солнца, – одинаковая для любой планеты. Следовательно, для двух планет справедливо соотношение
Отношение квадратов времен обращения планет оказывается равным отношению кубов радиусов их орбит. Этот интересный закон был выведен Кеплером из опыта. Закон всемирного тяготения объяснил наблюдения Кеплера.
Круговое движение одного небесного тела около другого – это лишь одна из возможностей.
Траектории одного тела, вращающегося около другого благодаря силам тяготения, могут быть самыми различными. Однако, как показывает расчет и как еще до всякого расчета было обнаружено Кеплером, все они принадлежат к одному классу кривых, называемых эллипсами.
Если привязать нитку к двум булавкам, воткнутым в лист чертежной бумаги, натянуть нитку острием карандаша и двигать карандашом так, чтобы нитка оставалась натянутой, то на бумаге в конце концов прочертится замкнутая кривая – это и есть эллипс (рис. 68). Места, где находятся булавки, будут фокусами эллипса.
Эллипсы могут иметь различную форму. Если взять нитку много длиннее, чем расстояние между булавками, то эллипс будет очень похож на круг. Напротив, если длина нитки чуть-чуть больше расстояния между булавками, то получится удлиненный эллипс – почти палочка.
Планеты описывают эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце.
Какие же эллипсы описывают планеты? Оказывается, очень близкие к окружности.
Наиболее отличен от окружности путь ближайшей к Солнцу планеты – Меркурия. Но и в этом случае самый длинный диаметр эллипса всего лишь на 2 % больше самого короткого. Иное дело орбиты искусственных планет. Посмотрите на рис. 69. Орбиту Марса не отличишь от круга.
Однако Солнце находится в одном из фокусов эллипса, а не в его центре, и поэтому расстояние планеты от Солнца меняется сильнее. Проведем линию через два фокуса эллипса – она пересечет эллипс в двух местах. Точку, ближайшую к Солнцу, называют перигелием, наиболее далекую от Солнца – афелием. Меркурий, когда находится в перигелии, в 1,5 раза ближе к Солнцу, чем в афелии.
Главные планеты описывают вокруг Солнца эллипсы, близкие к окружности. Однако существуют небесные тела, которые движутся около Солнца по сильно вытянутым эллипсам. К ним принадлежат кометы. Их орбиты не идут ни в какое сравнение по вытянутости с орбитами планет. Про небесные тела, движущиеся по эллипсам, можно сказать, что они принадлежат к семье Солнца. Однако в нашу систему забредают и случайные пришельцы.
Наблюдались кометы, описывающие около Солнца такие кривые, судя по форме которых можно было сделать вывод: комета не вернется, она не принадлежит к семейству солнечной системы. «Открытые» кривые, описываемые кометами, называются гиперболами.
Особенно быстро движутся такие кометы, когда они проходят около Солнца. Это и понятно – полная энергия кометы постоянна, а подходя к Солнцу, комета имеет наименьшую потенциальную энергию. Значит, кинетическая энергия движения будет в этом случае наибольшая. Конечно, такой эффект имеет место для всех планет и для нашей Земли. Однако эффект этот невелик, так как мала разница потенциальных энергий в афелии и перигелии.
Интересный закон движения планеты вытекает из закона сохранения момента импульса.
На рис. 70 изображено два положения планеты. От Солнца, т.е. от фокуса эллипса, проведены два радиуса к положениям планеты, и образовавшийся сектор заштрихован. Надо определить величину площади, описываемой радиусом за единицу времени. При небольшом угле сектор, описанный радиусом за секунду, можно заменить треугольником. Основание треугольника – скорость v(путь, проходимый за секунду), а высота треугольника равна плечу dскорости. Поэтому площадь треугольника есть vd/2.
Из закона сохранения момента следует постоянство величины mvdво время движения. Но если mvdнеизменно, то не меняется и площадь треугольника vd/2. Мы можем начертить секторы для любых моментов времени – они окажутся одинаковыми по площади. Скорость планеты меняется, но то, что можно назвать секториальной скоростью, остается неизменным.
Не все звезды имеют планетное окружение. Довольно много в небе двойных звезд. Два огромных небесных тела вращаются одно около другого.
Огромная масса Солнца делает его центром семейства. В двойных звездах оба небесных тела имеют близкие по величине массы. В этом случае нельзя считать, что одна из двух звезд покоится. Как же происходит движение в этом случае? Мы знаем, что каждая замкнутая система имеет одну покоящуюся (или равномерно движущуюся) точку – это центр инерции. Вокруг этой точки и вращаются обе звезды. При этом они описывают подобные эллипсы, что следует из написанного на стр. 135условия m 1/ m 2= r 2/ r 1.