До сих пор речь шла о телах, имевших точку опоры. А что будет, если тело опирается на целую площадку?
Ясно, что в этом случае расположение центра тяжести над опорой вовсе не говорит о неустойчивости равновесия. Как иначе могли бы стоять стаканы на столе? Для устойчивости нужно, чтобы линия действия силы тяжести, проведенная из центра тяжести, проходила через площадь опоры. Наоборот, если линия действия силы проходит вне площади опоры, то тело падает.
Степень устойчивости может быть очень различной в зависимости от того, как высоко расположен центр тяжести над опорой. Стакан с чаем опрокинет только очень неловкий человек, а вот цветочную вазу с маленьким основанием можно опрокинуть неосторожным прикосновением. В чем здесь дело?
Взгляните на рис. 58. Одна и та же опрокидывающая сила, складываясь с силой тяжести, дает суммарную силу, которая прижимает тело к опоре, если центр тяжести расположен низко, а при высоко расположенном центре тяжести суммарная сила не проходит через площадь опоры, а направлена в сторону.
Мы сказали, что для устойчивости тела приложенная к нему сила должна пройти через площадь опоры. Но площадь опоры, нужная для равновесия, не всегда соответствует фактической площади опоры. На рис. 59 изображено тело, площадь опоры которого имеет форму полумесяца. Легко сообразить, что устойчивость тела не изменится, если полумесяц дополнить до сплошного полукруга. Таким образом, площадь опоры, определяющая условие равновесия, может быть больше фактической.
Чтобы найти опорную площадь для изображенного на рис. 60 треножника, надо его концы соединить отрезками прямых.
Почему так трудно ходить по канату? Потому, что площадь опоры резко уменьшается. Ходить по канату нелегко, и не даром награждают аплодисментами искусного канатоходца. Однако иногда зрители впадают в ошибку и признают за вершину искусства хитрые трюки, облегчающие задачу. Артист берет сильно изогнутое коромысло с двумя ведрами воды; ведра оказываются на уровне каната. С серьезным лицом, при замолкшем оркестре, артист совершает переход по канату. Как усложнен трюк, думает неопытный зритель. На самом же деле артист облегчил свою задачу, понизив центр тяжести.
Центр инерции
Вполне законно задать вопрос: где находится центр тяжести группы тел? Если на плоту много людей, то от места нахождения их общего центра тяжести (вместе с плотом) будет зависеть устойчивость плота.
Смысл понятия остается тем же. Центр тяжести есть точка приложения суммы сил тяжести всех тел рассматриваемой группы.
Для двух тел результат подсчета нам известен. Если два тела весом F 1и F 2находятся на расстоянии x, то центр тяжести находится на расстоянии x 1от первого и x 2от второго тела, причем
Так как вес может быть представлен как произведение mg, то центр тяжести пары тел удовлетворяет условию
m 1 x 1= m 2 x 2,
т.е. лежит в точке, которая делит расстояние между массами на отрезки, обратно пропорциональные массам.
Вспомним теперь стрельбу из установленного на платформе орудия. Импульсы орудия и снаряда равны и направлены в разные стороны. Имеют место равенства:
причем отношение скоростей сохраняет это значение в течение всего времени взаимодействия. Во время движения, возникшего благодаря отдаче, орудие и снаряд смещаются по отношению к начальному положению на расстояния x 1и x 2в разные стороны. Расстояния x 1и x 2– пути, проходимые обоими телами, – растут, но при неизменном отношении скоростей величины x 1и x 2будут также все время находиться в том же отношении:
Здесь x 1и x 2есть расстояния орудия и снаряда от первоначальной точки их нахождения. Сравнивая эту формулу с формулой, определяющей положение центра тяжести, мы видим их полную тождественность. Отсюда непосредственно следует, что центр тяжести снаряда и орудия все время после выстрела остается в первоначальной точке их нахождения.
Другими словами, мы пришли к очень интересному результату – центр тяжести орудия и снаряда после выстрела продолжает покоиться.
Такой вывод верен всегда: если центр тяжести двух тел первоначально покоился, то их взаимодействие – какой бы характер оно ни носило – не может изменить положения центра тяжести. Именно поэтому нельзя поднять самого себя за волосы или подтянуться к Луне методом французского писателя Сирано де Бержерака, предложившего (конечно, шутя) для этой цели взять в руки кусок железа и подбрасывать вверх магнит, который притягивал бы это железо.
Покоящийся центр тяжести с точки зрения другой инерциальной системы равномерно движется. Значит, центр тяжести либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.
Сказанное о центре тяжести двух тел верно и для группы многих тел. Конечно, для изолированной группы тел, – мы это оговариваем всегда, когда применяется закон сохранения импульса.
Значит, у всякой группы взаимодействующих тел есть такая точка, которая покоится или движется равномерно, и эта точка есть их центр тяжести.
Желая подчеркнуть новое свойство этой точки, ей дают еще одно название: центр инерции. Ведь, скажем, о тяжести солнечной системы (а значит, и о центре тяжести) может идти речь лишь в условном смысле.
Как бы ни двигались тела, образующие замкнутую группу, центр инерции (тяжести) будет покоиться или в иной системе отсчета двигаться по инерции.
Вращательный момент
Сейчас мы познакомимся еще с одним механическим понятием, которое позволяет сформулировать новый для нас важный закон движения.
Это понятие называется вращательным моментом, или моментом импульса, или моментом количества движения. Уже названия подсказывают, что речь идет о величине, чем-то похожей на момент силы.
Момент импульса, так же как и момент силы, требует указания точки, по отношению к которой определяется момент. Чтобы определить момент импульса относительно какой-либо точки, надо построить вектор импульса и опустить из точки перпендикуляр на его направление (рис. 61). Произведение импульса mvна плечо dи есть момент импульса, который мы будем обозначать буквой N:
N= mvd.
Если тело движется свободно, то его скорость не меняется; остается неизменным и плечо по отношению к любой точке, так как движение происходит по прямой линии. Значит, и момент импульса остается при таком движении неизменным.
Так же как и для момента силы, для вращательного момента можно написать и другую формулу. Соединим радиусом местоположение тела с точкой, момент по отношению к которой нас интересует (рис. 61). Построим также проекцию скорости на направление, перпендикулярное к радиусу. Из подобных треугольников, которые построены на рисунке, следует:
