Как я поясню в дальнейшем, я бы сказал, что сейчас это выглядит несколько по-иному, но я еще более, чем когда-либо, убежден в том, что использование принципа перенормируемости как ограничения на наши теории наблюдаемых взаимодействий является хорошей стратегической линией. Преисполненный энтузиазма в отношении теории перенормировок, я написал свою кандидатскую диссертацию под руководством Сэма Треймана в 1957 г. на тему о применении некоторой специальной версии принципа перенормируемости для получения ограничений на слабые взаимодействия [20]. А некоторое время спустя я доказал небольшую, но довольно строгую теорему [21], которая завершала доказательство Дайсона [19] и Салама [22] о сокращении всех ультрафиолетовых расходимостей во всех порядках теории возмущений в перенормируемых теориях. Но ничто из сделанного, казалось, не решало важнейшей проблемы — как построить перенормируемую теорию слабых взаимодействий.

А теперь я опять подхожу к 1967 г. Тогда я изучал следствия нарушенной SU(2) × SU(2) — симметрии сильных взаимодействий и обдумывал попытки развития идеи о том, что, возможно, симметрия SU(2) × SU(2) является «локальной», а не просто «глобальной» симметрией, т. е. сильные взаимодействия следовало бы описывать чем-то вроде теории Янга — Миллса, но вдобавок к векторным ρ-мезонам теории Янга — Миллса должны были бы появляться и аксиально-векторные А1-мезоны. Чтобы придать ρ-мезону массу, было необходимо вставить обычные массовые члены для  ρи А1 в лагранжиан, а спонтанное нарушение SU(2) × SU(2) — симметрии затем отщепит  ρот А1 с помощью механизма, подобного хиггсовскому, однако, поскольку теория не будет калибровочно-инвариантной, пионы останутся как физические голдстоуновские бозоны. Эта теория приводила к интригующему результату, что отношение масс А1/ ρдолжно равняться 2 ^1/2. Пытаясь понять этот результат вне рамок теории возмущений, я открыл определенные правила сумм, «правила сумм для спектральных функций» [23], которые, как оказалось, могут быть широко использованы и для других целей. Но SU(2) × SU(2) — теория не была калибровочно-инвариантной, а следовательно, она не могла быть перенормируемой [24], поэтому я не проявлял по отношению к ней большого энтузиазма [25]. Конечно, если бы я не подставлял массовый член для  ρ— А1 в лагранжиан, то такая теория была бы калибровочно-инвариантной и перенормируемой и А1 обладал бы массой. Но тогда не было бы пионов, а ρ-мезон был бы безмассовым, в очевидном противоречии (если не сказать большего) с наблюдениями.

И вот как-то в конце 1967 г. (мне кажется, это было, когда я вел машину, направляясь на работу в МТИ [68]) мне пришла в голову мысль о том, что я использовал верные идеи в неподходящей проблеме. Безмассовым должен быть не ρ-мезон, а фотон, причем его партнером будет не А1, а массивный промежуточный бозон, который с времен Юкавы прочили на роль переносчика слабых взаимодействий. Слабые и электромагнитные взаимодействия можно было бы тогда описать [26] единым образом в терминах точной, но спонтанно нарушенной калибровочной симметрии. (Конечно, это не обязательно должна быть группа SU(2) × SU(2).) И эта теория была бы перенормируемой подобно квантовой электродинамике, потому что она калибровочно-инвариантна, как и квантовая электродинамика.

Было нетрудно развить конкретную модель, которая воплощала эти идеи. У меня было мало уверенности в правильности моего понимания сильных взаимодействий, поэтому я решил сконцентрировать свое внимание на лептонах. Существуют два левосторонних лептона электронного типа ν _eLи е _Lи один правосторонний лептон электронного типа e _R. Поэтому я начал с группы U(2) × U(1); все унитарные 2 × 2-матрицы действуют на левосторонние лептоны е-типа, тогда как все унитарные 1 × 1-матрицы воздействуют на правосторонний лептон е-типа. Подразделяя U(2) на унимодулярные преобразования и фазовые преобразования, можно было сказать, что группа была SU(2) × U(1) × U(1). Но тогда одна из групп U(1) могла быть соотнесена обычному лептонному числу, а поскольку лептонное число оказывается сохраняющимся и не существует никакой безмассовой векторной частицы, обладающей им, то я решил исключить его из группы. При этом остается лишь четырехпараметрическая группа SU(2) × U(1). Спонтанное нарушение симметрии SU(2) × U(1) до группы U(1) обычной электромагнитной калибровочной инвариантности привело бы к появлению масс у трех из четырех векторных калибровочных бозонов: заряженных бозонов W ^±и нейтрального бозона, который я назвал Z ⁰. Зная силу обычных слабых взаимодействий заряженных токов, подобных бета-распаду, которые обусловлены обменом W ^±, можно определить массу W ^±. Она оказалась равной около 40 ГэВ/sin Θ, где  Θ— угол смешивания  γ— Z ⁰.

Чтобы продвинуться дальше, приходится принять определенную гипотезу о механизме нарушения SU(2) × U(1). В перенормируемой SU(2) × U(1) — теории единственным полем, с помощью которого можно было бы придать электрону массу за счет отличных от нуля вакуумных средних, является SU(2) — дублет частиц ( φ ⁺,φ ⁰) с нулевым спином. Поэтому для простоты я предположил, что эти поля являются единственными скалярными полями в теории. Масса Z ⁰-бозона при этом оказалась равной 80 ГэВ/sin2 Θ. Таким образом, была зафиксирована сила взаимодействий слабых нейтральных токов. Действительно, точно так, как и в квантовой электродинамике, как только выбрано «меню» полей в теории, все детали такой теории полностью определяются принципами симметрии и перенормируемостью, если задать еще несколько свободных параметров: заряды и массы лептонов, фермиевскую константу связи бета-распада, угол смешивания  Θи массу скалярной частицы. Естественность такой теории хорошо демонстрирует тот факт, что практически такая же теория была независимо развита Саламом [27] в 1968 г.

Следующей проблемой была перенормируемость. Правила Фейнмана для теорий Янга-Миллса с ненарушенными калибровочными симметриями были разработаны [28] де Виттом, Фаддеевым и Поповым и другими, причем было известно, что такие теории перенормируемы. Однако в 1967 г. я еще не знал, как можно доказать, что это свойство перенормируемости не портится при спонтанном нарушении симметрии. Я усиленно работал над этой задачей в течение нескольких лет, частично вместе с моими студентами [29], но продвинулся в решении вопроса не намного. Оглядываясь назад, можно понять, что основная трудность заключалась в том, что при квантовании векторных полей я использовал калибровку, которая известна сейчас под названием унитарной калибровки [30]. Такая калибровка имеет ряд существенных преимуществ, например, она дает истинный спектр частиц в теории, но у нее есть и крупный недостаток, состоящий в том, что свойство перенормируемости в такой калибровке практически невозможно выяснить.

Наконец, в 1971 году 'т Хоофт [31] показал в своей прекрасной статье, как можно разрешить эту проблему. Он придумал калибровку, в которой (наподобие «фейнмановской калибровке» в квантовой электродинамике) правила Фейнмана явно приводили только к конечному числу типов ультрафиолетовых расходимостей. Необходимо было также показать, что эти бесконечности удовлетворяли практически тем же ограничениям, что и лагранжиан теории, так что они могли бы быть устранены путем переопределения параметров этой теории. (Это казалось естественным, но доказательство не было простым, потому что калибровочно инвариантную теорию можно проквантовать лишь после того как выбрана определенная калибровка, так что совсем не очевидно, что ультрафиолетовые расходимости удовлетворяют тем же ограничениям, вытекающим из калибровочной инвариантности, что и сам лагранжиан.) Вскоре доказательство было завершено [32] в работах Ли и Зинн-Жюстена, а также 'т Хоофта и Велтмана. Совсем недавно Бекки, Руэ и Стора [33] придумали изящный метод проведения такого доказательства, использующий глобальную суперсимметрию калибровочных теорий, которая сохраняется даже при выборе какой-либо специфической калибровки.