- «математика — царица всех наук»!

— Вот-вот, ничего такого не было. Но какие-то фразы, которые просто были частью его мыслительного процесса, на мой ум произвели совершенно неизгладимое впечатление. И я их до сих пор повторяю. Например, однажды он сказал: «Современные математики приходят на работу в кабинет и садятся доказывать теорему. Это ошибка. Классики науки так не делали, они считали и смотрели, что получится». То есть такое отношение к математике как к своего рода химии — смешали, бабахнуло, не бабахнуло.

И в том же ключе: «Легче обобщить пример, чем специализировать теорию». То есть догадаться, что какая-то общая теория применима к какой-то конкретной задаче, — это гораздо сложнее, чем развить общую теорию, опираясь на «один хорошо сосчитанный пример». Это, кстати, точные слова Александра Александровича: «один хорошо сосчитанный пример». Я на всю жизнь научился ценить такие примеры и нахожу в этом глубочайшую мудрость.

- Для практика вроде бы вещь очевидная?

— Я понимаю, это как если бы выпускник бизнес-школы находил глубочайшую мудрость в том, чтобы не тратить больше, чем зарабатываешь. Но, увы, как современным математикам, так и финансистам зачастую не приходит в голову стоять хотя бы одной ногой на земле.

А.М. Вершик и другие участники конференции в ИППИ РАН, август 2009 г. (Фото Н. Деминой)

- В чем разница между математикой, которую Вам открыли учителя, и математикой, в которой живете теперь Вы и которую Вы открываете уже своим ученикам?

— Есть вещи, которые практически не изменились, — это базовые, магистральные направления в развитии математики. Потому что математика — это вертикальная, логическая структура. Для того, чтобы кто-то возвел блистательный шпиль, нужно много отесанных или неотесанных глыб положить в основание этого здания. И только потом оно увенчается каким-то блистательным доказательством. Поэтому центральные проблемы математики меняются не на протяжении одного поколения, а на гораздо больших временных горизонтах. Если Вы посмотрите на проблемы Гильберта или «миллионные» задачи, то большинство из них эволюционировало на промежутке порядка ста лет. Как ни убыстряется темп развития математики, а основные ее направления меняются медленно.

- А что изменилось?

— То, как мы работаем, как мы идем к своей цели. Понятно, что много времени математики просто думают — это процесс, который трудно объяснить. И это думанье — а в хорошие дни прямо-таки мышление — периодически приводит к озарению. Это момент большого счастья. Но так бывает в жизни каждого математика, может быть, дюжину раз. А большую часть времени мы, как первопроходцы в джунглях, в темноте, с каким-то маленьким ножиком, с подручными средствами, пробираемся сквозь мглу неизвестно куда.

Но, к счастью, мощь этих подручных средств растет, и прорубаемся мы с их помощью все эффективнее. Тот «один хорошо сосчитанный пример», про который мы говорили раньше, обычно был записан карандашом в тетрадке. А теперь для всех сколько-нибудь рутинных вычислений у нас есть очень мощные и умные программы. А ведь вычисления — это, действительно основа. Как в физике эксперименты. Глядя на них, мы строим и проверяем наши догадки. Все равно, конечно, на них уходит много сил и времени: недели, а порой и месяцы, чтобы написать, отладить и дождаться ответа. Но посчитать подобной сложности пример старыми методами было бы, конечно, немыслимо.

- Это первое. А что еще изменилось?

— Когда прорубаемся в тростнике, мы часто имеем довольно смутное представление о том, что делают наши коллеги. Исторически много туннелей в математике было прорыто параллельно.

- То есть многие вещи переоткрывались, и не один раз? Но ведь обычно результаты публикуются моментально?

— Верно. Но математика столь велика, что никому не по силам знать ее всю. Даже в одной отдельной области уследить за новинками и удержать в памяти всю классику было реалистично еще, может быть, лет 20–30 назад. А что теперь? Теперь мы должны опираться на современные средства поиска информации, которые, надо сказать, очень помогают. Например, Американское математическое общество предлагает подписчикам электронную базу данных более-менее всех статей по математике с разнообразными и эффективными средствами поиска, рефератами и т.д.

Г. Ольшанский на конференции в ИППИ РАН

- А если то, что Вас интересует, другой ученый назовет другим словом? Вы же с ним не договаривались об обозначениях?

— Да, тогда простой контекстный поиск не поможет. Но есть гораздо более хитрые вещи.

Например, математика полна последовательностей. Скажем, нам надо заплатить /7 =1,2,3,... копеек пользуясь 1- , 2- , и 5-копеечными монетами. Сколькими способами это можно сделать? Это, конечно, просто элементарная иллюстрация, а не вопрос, который математиков действительно волнует, хотя мы часто и вынуждены искать способы заплатить ту или иную сумму. Итак, мы получаем последовательность 1,2,2,3,4,5,6,7,8,10,1 1,13,14,16,18, потому что, например, 5 копеек можно сложить как 5=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1, итого четырьмя способами.

Хорошо, у нас есть последовательность, а что мы про нее можем сказать? Давайте введем ее в «Онлайн-энциклопедию целочисленных последовательностей» Нейла Слоэна. Мы узнаем, что у нее есть номер А000115, т.е. она уже людям встречалась, что, конечно, не удивительно. Что Вам может показаться удивительным: для этой последовательности есть простая формула, а именно, ее /7 -ый член есть ближайшее целое к ((N +4)2)/20. Например, для n=5 получаем 81/20 приблизительно равно 4. Мы бы, конечно, и сами об этом со временем догадались, но все-таки приятно, что кто-то уже за нас задачу решил. Мне лично эта энциклопедия помогала много раз, и не с воображаемыми задачами, а с настоящими, полевыми.

- Но есть еще другая проблема — проблема проверки результатов. Сейчас создаются специальные компьютерные программы, чтобы можно было проверять математические доказательства.

— Да, но, по-моему, лучше так объяснять глубокие вещи, чтобы та самая доска, о которой говорил Ольшанский, из равновесия не выходила. Чисто по-человечески, когда я вижу хорошую идею, для меня это гораздо убедительнее, чем компьютерный сертификат логичности. Цель математики, как и науки в целом, — не узнать ответ «да» или «нет» на все мыслимые вопросы, а в том, чтобы понять наш мир. Предположим, прилетели бы инопланетяне и сказали: «Гипотеза Римана верна, и вот формальное доказательство. Вы можете проверить на своей машине». Ну и чему мы, собственно говоря, научились от этого? Ничему не научились.

- Вы хотите сказать, что важно не просто формально получить доказательство, а важно то, чтобы это доказательство было естественно принято сообществом и осмыслено?

— Да. Доказательство — это не цель математики, а мера нашего понимания. Есть феномен, который Риман осознал. И это величайшее открытие. И мы его до сих пор очень плохо понимаем. Я, например, совсем не понимаю. Но даже мои замечательные коллеги, я думаю, не так хорошо понимают. Ну и какой бы мерой понимания было бы инопланетное доказательство?

- Доказательство важно как свидетельство понимания проблемы?

— Именно так. Моя любовь — это математическая физика. Очень часто задают вопрос: зачем математические физики доказывают те вещи, которые физически очевидны? Вот существует природа, и ткань мироздания на наших глазах не рвется, значит, математика работает. Зачем математически выводить, скажем, фазовый переход? Ведь вот была вода, она вскипела, все видят. Зачем это доказывать? Когда доказательства нет, это не конец света, но когда есть, это важная мера нашего понимания. Если мы можем математически описать и даже доказать какое-то явление, значит, оно нами понято.