Борхардт полагал, что на выбор зодчего повлияло только удобство отношения ¹⁴/₁₁. Нам представляется, однако, что не такое уж оно простое, чтобы его следовало принять безоговорочно. По нашему мнению, необходимо добавить, что оно соответствует, кроме того, с точностью до 4″ более простому наклону в ⁹/₁₀, принятому для ребра пирамиды по отношению к диагонали основания. Одной из сложных проблем для строителей было определение угла наклона ребра, так как именно от него зависели очертания угловых камней, установка которых предшествует кладке облицовки и направляет ее. Этот наклон несомненно легко мог быть определен по углу наклона апофемы, но возможно, что тем не менее представлялось целесообразным определять и контролировать его непосредственно. Поскольку зодчие отдельных пирамид должны были отдать предпочтение углу наклона апофемы или углу наклона ребра, мы увидим, что они колебались в выборе и их усилия были явно направлены на определение угла наклона, дающего для проектирования — одновременно как по апофеме, так и по ребру — по возможности простые отношения.

В первоначальной мастабе Джосера, перекрытой впоследствии ступенчатой пирамидой, наружная облицовка имеет явно выраженный наклон в ⁴/₁, т. е. наиболее распространенный во многих мастабах, как это отмечает Петри. Что же касается самой ступенчатой пирамиды, то угол наклона ее сторон равен приблизительно 74° или h/b = 7/2. Египтяне, следуя своим правилам, выразили это отношение просто как b = 2 пальмам. Тот же угол наклона встречается затем в ступенчатой пирамиде в Завиет-эль-Ариане и на первых двух стадиях строительства пирамиды в Медуме. В третьей стадии эта пирамида, по всей вероятности являющаяся первой настоящей пирамидой, имеет уже угол наклона сторон 51°50′, который позднее будет использован и в пирамиде Хеопса.

После этой пирамиды были построены две большие пирамиды в Дашуре, возведенные, по-видимому, Снофру — отцом Хеопса. Первой была сооружена пирамида, находящаяся южнее, которую назвали «ромбовидной» из-за ее оригинальной формы, обусловленной изменением в процессе сооружения первоначального угла наклона ее сторон.

До высоты около 45 м этот угол, определенный более века назад Перрингом, равнялся 54°14′46″, соответствуя отношению h/b = 7/(5+1/25). У второй пирамиды в Дашуре, расположенной севернее, угол наклона апофемы (также по данным Перринга) составляет 43°36′, но, поскольку облицовка не сохранилась, приведенная цифра, возможно, приблизительна и, быть может, указывает на то, что принятый угол наклона мог как раз соответствовать углу наклона ²/₃ для ребра пирамиды. Было бы очень интересно проверить, не избрал ли Снофру еще раньше этот угол наклона и для верхней части своей первой пирамиды.

В пирамиде Хефрена, сооруженной после пирамиды Хеопса, сторонам придан более острый угол наклона. По данным Петри, он взял угол в 53°10′, очень близкий к 53°7′48″— углу знаменитого «священного треугольника» древности со сторонами, соответственно равными 3, 4 и 5. В этом случае построение сечения по апофеме, или отношение ⁴/₃ дает неоспоримое преимущество перед сечением по диагонали. Это ребро, однако, имея угол наклона несколько больше 43°, давало отношение высоты к половине диагонали ^8.5/₈, что почти так же легко реализуемо на практике, как и отношение Хеопса ⁹/₁₀. По нашему мнению, с точки зрения конструкции пирамида Хефрена была проще пирамиды Хеопса и северной пирамиды Снофру в Дашуре, в которых предпочтение было отдано построению угла для грани пирамиды, а не ее ребра.

Микерин, преемник Хефрена, также пытался найти для своей пирамиды наиболее удобный угол наклона. И, по-видимому, добился этого. Угол наклона сторон его пирамиды, с трудом определенный Петри из-за неровности поверхности облицовки, равняется приблизительно 51°10′, а угол в 51°20′25″ соответствует египетскому треугольнику Виолле ле Дюка с катетами, равными 4 и 5. Поперечное сечение по апофеме дает, таким образом, простое отношение ⁵/₄, и при угле в 51°29′53″, который больше второго примерно на 9,5″, сечение по диагонали также даст простое отношение ⁸/₉.

Таковы были очертания первых пирамид фараонов III и IV династий. В заключение отметим, что после пирамиды в Медуме, где уже был взят наклон, позднее избранный и для пирамиды Хеопса, Снофру удалось найти для «ромбовидной» пирамиды угол наклона, дающий простые отношения для построения как апофемы, так и ребер пирамиды. Но так как в процессе строительства этот угол сочли чрезмерно острым, он был соответственно изменен. Затем, при сооружении верхней части этой пирамиды, второй пирамиды Снофру, и пирамиды Хеопса основная трудность, по-видимому, состояла в построении сечения по диагонали пирамиды. В пирамиде Хефрена, наоборот, основное место занимает построение сечения по апофеме. Но окончательного решения простых отношений как для апофемы, так и для ребер строители пирамид добились лишь в пирамиде Микерина; на этот раз они взяли угол наклона сторон не слишком острый, не слишком тупой.

В начале царствования V династии Сахура в Абусире пошел по тому же пути, что и зодчие пирамиды Микерина. Угол наклона сторон его пирамиды, определенный несколько приближенно Борхардтом в 50°5′, возможно, мог соответствовать углу в 50°11′40″, дающему при стороне основания в 150 локтей высоту в 90 локтей. Сечение по апофеме будет, следовательно, выражено простым отношением ⁶/₅, так же как и сечение по диагонали, которое составит простое отношение ⁶/₇.

Позднее, в период правления этой же династии, фараон Нефериркара в своей пирамиде возвратился к углу наклона сторон пирамиды Хефрена, а фараон Ниусерра — к углу наклона сторон пирамиды Хеопса. Наконец, на пирамидах VI династии, почти полностью разрушенных, мы сами обнаружили угол наклона около 53° в пирамиде Пепи II в Саккара. Здесь, следовательно, был вновь применен «священный треугольник» со сторонами 3, 4, 5, как и в пирамиде Хефрена. В период Среднего царства пирамида Сенусерта III в Дашуре при длине стороны 200 локтей имела угол наклона около 56°, что определяло ее высоту в 150 локтей, а угол наклона апофемы составлял ³/₂, что вновь дает чрезвычайно простое отношение.

Из этих разнообразных примеров мы заключаем, что но следует искать в пирамидах свидетельств необычайных познаний, наличие которых стремились доказать Жомар и его последователи. Жомар писал: «Из пропорций, бросающихся в глаза в этих памятниках, можно узнать законы, на основании которых их воздвигли; и поскольку они являются плодом египетской науки, то должны включать в себя ее элементы…» Однако анализ, приведенный выше, совершенно точно доказывает простоту этих законов и их элементов. Нам представляется, таким образом, весьма необдуманным допускать вместе с некоторыми другими, что пирамида Хеопса могла быть преднамеренным символическим выражением окружности, рассматриваемой как наиболее простая, совершенная фигура. Мы равным образом не верим и тому, что будто бы взятый Хефреном для определения угла наклона «священный треугольник» подтверждает намерение зодчего превратить эту пирамиду в его символическое выражение. Один из защитников данного положения вынужден был, однако, с этой точки зрения признать некоторый регресс после пирамиды Хеопса, каковую он расценивает как «шедевр их метода транспозиции», вплоть до пирамиды Микерина, по отношению к которой он задается вопросом: «Не остановился ли на этом уже достаточно усталый ум?!»278. Сравнительное рассмотрение значений углов наклона различных пирамид, наоборот, доказывает заметный прогресс вплоть до правления Микерина, при котором был взят угол наклона, определявший для граней и апофемы исключительно простые отношения.

Не кажется ли поэтому, что геометрия египтян предназначена лишь для удовлетворения технических и практических потребностей? Она разумно использует как некоторые прямоугольные треугольники, так и священный треугольник и определяет те стороны прямого угла, которые находятся между собой в таком же отношении, как два целых последовательных числа, например, 2 и 3, 4 и 5, 8 и 9, 9 и 10 и т. д., или же составляют простые отношения, как 1 и 4, 7 и 5, 11 и 14 и т. д.