Вклад Клейна заключался в предположении, согласно которому то, что справедливо для объектов внутри Вселенной, может быть справедливо и для ткани самой Вселенной. А именно, точно так же, как поверхность каната имеет как большое, так и маленькое измерение, так и ткань пространства может иметь большие и маленькие размерности. Может оказаться, что три известных всем нам измерения — влево/вправо, назад/вперёд, вверх/вниз — подобны горизонтальной протяжённости каната; они являются большими размерностями, легко видимой разновидностью измерений. Но точно так же, как поверхность каната имеет маленькое дополнительное циклическое измерение, может быть и ткань пространства также имеет настолько маленькое дополнительное циклическое измерение, что ни у кого нет достаточно мощного увеличительного устройства, чтобы обнаружить его существование. Вследствие его ничтожного размера, утверждал Клейн, это измерение будет скрытым.

Насколько мало маленькое? Математический анализ Клейна, в котором использовались некоторые свойства квантовой механики вместе с оригинальным предложением Калуцы, показал, что радиус дополнительного циклического пространственного измерения, вероятно, будет порядка планковской длины{247}, что определённо слишком мало, чтобы он был доступен для экспериментального обнаружения (самое совершенное современное оборудование не позволяет рассмотреть что-либо меньшее, чем одна тысячная размера атомного ядра, а это не дотягивает до планковской длины более миллиона миллиардов раз). Однако для воображаемого червяка планковского размера это крошечное скрученное циклическое измерение обеспечит новое направление, в котором он может странствовать так же свободно, как обычный червяк использует циклическое измерение каната на рис. 12.5. Конечно, точно так же, как обычный червяк обнаружит, что в направлении по часовой стрелке вокруг каната есть не так-то много пространства для исследования, прежде чем он наткнётся на свой собственный хвост и окажется в стартовой точке, червячок планковской длины, ползущий вдоль скрученного измерения пространства, также будет постоянно возвращаться назад к началу пути. Но, не взирая на длину путешествия, которое он может предпринять, скрученное измерение предоставляло бы направление, в котором крохотный червячок мог бы двигаться так же легко, как он это делает в трёх привычных развёрнутых измерениях.

Чтобы интуитивно почувствовать, на что это похоже, отметим, что то, что мы называем скрученным измерением каната, — направление по/против часовой стрелки, — существует в каждой точке вдоль его протяжённого измерения. Обычный червяк может сделать круг по замкнутому циклическому измерению в любой точке вдоль длины каната, так что поверхность каната может быть описана как имеющая одно протяжённое измерение, к каждой точке которого прикреплено крохотное цикличное измерение, как на рис. 12.6. Этот образ полезно иметь в уме, поскольку он также применим к предложению Клейна о том, где прячется дополнительное пространственное измерение Калуцы.

Чтобы увидеть это, рассмотрим ткань пространства снова путём последовательной демонстрации её структуры на всё меньших масштабах длины, как на рис. 12.7. На первых нескольких уровнях увеличения ничего нового не обнаруживается: ткань пространства всё ещё выглядит трёхмерной (что, как обычно, мы схематически представляем на картинке в виде двумерной сетки). Однако когда мы доберёмся до планковского масштаба, т. е. до наибольшего увеличения, представленного на рисунке, Клейн предполагает, что новое, скрученное измерение станет видимым. Точно так же, как циклическое измерение каната существует в каждой точке его видимого протяжённого измерения, циклическое измерение, в соответствии с этим предложением, существует в каждой точке обычных трёх протяжённых измерений повседневной жизни. На рис. 12.7 мы показали это, дорисовав дополнительное циклическое измерение только в некоторых точках протяжённых измерений (поскольку рисование окружностей в каждой точке закроет весь рисунок), и вы немедленно можете увидеть сходство с канатом на рис. 12.6. В предложении Клейна, следовательно, пространство должно представляться как имеющее три протяжённых измерения (из которых мы показали на рисунке только два) с дополнительным циклическим измерением, присоединённым к каждой точке. Отметим, что дополнительное измерение не есть выпуклость или петля внутри обычных трёх пространственных измерений, как могут заставить вас подумать ограниченные возможности графики. Дополнительное измерение есть новое измерение, совершенно отличное от трёх, известных нам, которое существует в каждой точке в нашем обычном трёхмерном пространстве, но столь мало, что ускользает от обнаружения даже нашими самыми мощными инструментами.

С помощью такой модификации исходной идеи Калуцы Клейн смог объяснить, как Вселенная может иметь более трёх пространственных измерений и при этом дополнительное измерение остаётся скрытым; эта схема с тех пор стала известна как теория Калуцы-Клейна. А поскольку дополнительное измерение пространства — это всё, что требовалось Калуце для объединения общей теории относительности с электромагнетизмом, теория Калуцы-Клейна могла бы показаться именно тем, что искал Эйнштейн. Действительно, Эйнштейн и многие другие стали просто одержимы идеей унификации с помощью нового, скрытого пространственного измерения, и были предприняты решительные усилия, чтобы понять, будет ли этот подход работать во всех деталях. Но незадолго до этого теория Калуцы-Клейна столкнулась со своими собственными проблемами. Вероятно, самая заметная из всех заключалась в том, что попытки включить в картину с дополнительным измерением электрон продемонстрировали свою несостоятельность.{248} Эйнштейн продолжил биться над схемой Калуцы-Клейна по меньшей мере до начала 1940-х гг., но первоначальные обещания этого подхода так и не материализовались, и интерес постепенно сошёл на нет.

Однако несколько десятилетий спустя произошло эффектное возвращение теории Калуцы-Клейна.

Теория струн и скрытые измерения

В дополнение к трудностям, с которыми теория Калуцы-Клейна столкнулась при попытке описать микромир, у учёных была и другая причина сомневаться в этом подходе. Многие находили постулирование скрытой пространственной размерности и произвольным, и экстравагантным. Калуца пришёл к идее нового пространственного измерения не на основании жёсткой цепочки дедуктивных рассуждений. Нет, он взял идею просто с потолка, а после анализа её следствий открылись неожиданные связи между общей теорией относительности и электромагнетизмом. Таким образом, хотя это было само по себе большое открытие, оно страдало отсутствием ощущения его необходимости. Если бы вы спросили Калуцу и Клейна, почему Вселенная имеет пять пространственно-временных измерений, а не четыре, или шесть, или семь, или 7000, коли на то пошло, они не смогли бы дать более убедительный ответ, чем «Почему бы и нет?».

Более чем через три десятилетия ситуация радикально изменилась. Теория струн является первым подходом для объединения общей теории относительности и квантовой механики; более того, она имеет потенциал для объединения нашего понимания всех сил и всей материи. Но квантово-механические уравнения теории струн не работают ни в четырёх пространственно-временных измерениях, ни в пяти, шести, семи или 7000. По причинам, обсуждающимся в следующем разделе, уравнения теории струн работают только в десяти пространственно-временных измерениях — девяти пространственных плюс время. Теория струн требует больше измерений.