где L(n ) = lnp , если n = р^к L(n )= 0, если n ¹ p^k , эквивалентно такой же задаче для функции p(х ). Функция Y(х ) может быть выражена через интеграл от производящей функции — x¢(s )/ x(s ):

  Б. Риман высказал гипотезу, что все нетривиальные нули x (s ) лежат на прямой Res = ¹ /₂ , из чего следует, что

y(x )=x + O (

ln² x ),

  Из справедливости любой из последних формул следует гипотеза Римана. По аналогичной схеме были изучены L -ряды Дирихле. В 1896 Ш. Ла Валле Пуссен и Ж. Адамар доказали, что x(s ) ¹ 0 в области Res ³ 1, откуда следовала формула (асимптотический закон распределения простых чисел)

  Кроме этого, Ш. Ла Валле Пуссен доказал, что x(s ) ¹ 0 в области

  и что

  где с и c₁ — положительные постоянные. Такой же результат был получен им и для простых чисел в арифметических прогрессиях: если p(х , k , l ) — число простых чисел вида kn + 1, n £ х , k и l— взаимно простые числа, то

  Метод получения асимптотических формул для p(х ), Y(х ), p(х , k , l ), названный методом комплексного интегрирования, нашёл многочисленные применения. Основой этого метода служит формула

  Теория квадратичных форм, начатая работами Л. Эйлера, К. Гаусса, П. Дирихле, продолжала своё развитие в работах А. Н. Коркина , Е. И. Золотарёва и А. А. Маркова . В частности, А. Н. Коркин и Е. И. Золотарёв доказали теорему: переменным любой положительной кватернарной квадратичной формы определителя D можно придать такие целые значения, что значение формы не будет превосходить величины

, и существуют такие формы, минимумы которых равны . Примером такой формы является следующая:

.

  Исследования А. А. Маркова относились к изучению минимумов бинарных квадратичных форм положительного определителя и привели к целому ряду новых открытий.

  Проблемы целых точек в областях на плоскости получили своё дальнейшее развитие в трудах Г. Ф. Вороного , создавшего (1903) метод, с помощью которого доказано, что остаточный член в асимптотической формуле Дирихле для числа целых точек под гиперболой имеет порядок корня кубического из главного члена. Позднее (1906) метод Вороного был перенесён В. Серпиньским на проблему Гаусса целых точек в круге с тем же результатом. В это же время были предприняты попытки найти решения аддитивных проблем Ч. т. и, в частности, решить Варинга проблему . В 1909 она была решена Д. Гильбертом .

  Второе, третье и четвёртое десятилетия 20 в. были исключительно богаты новыми идеями и методами в Ч. т. Г. Вейль , решая задачи, связанные с устойчивостью Солнечной системы, пришёл к понятию равномерного распределения дробных долей целочисленных функций: дробные доли действительнозначной функции F (x ) равномерно распределены на [0,1) при х= 1,2,3.,.., если число попаданий дробных долей F (x ) на любой интервал из [0.1) пропорционально длине этого интервала. Он доказал, что для равномерности распределения дробных долей F (x ) необходимо и достаточно выполнение соотношения:

,

  при любом фиксированном ½m ½>0, и получил нетривиальные оценки ½S (F )½ в случае, когда F (x ) — многочлен, старший коэффициент которого есть иррациональное число. И. М. Виноградов, изучая распределение значений символа Лежандра на отрезках малой длины по сравнению с модулем, доказал (1914) неравенство

, X > 0,

  из которого следует, что квадратичных вычетов и невычетов на любом отрезке, длина которого чуть больше

, асимптотически поровну. Кроме того, он высказал гипотезу, что это будет верно при Х > р ^e , где e > 0 — сколь угодно малое число. В 1917 И. М. Виноградов доказал, что число целых точек в области 0 < y £ f (x ), a < x £ b , при определённых ограничениях на порядок роста второй производной f (x ), равно площади этой области с точностью до слагаемого порядка корня кубического из главного члена. Позднее чешским математиком В. Ярником установлено, что точность этой формулы при сделанных предположениях относительно f (x ) нельзя существенно улучшить.

  Норвежским математиком В. Бруном доказаны (1919) теоремы, которые в определённом смысле приближались к проблеме простых близнецов и проблеме Эйлера. А именно, им доказана бесконечность числа пар u₁ и u₂ , таких, что u₁ — u₂ = 2 и число простых делителей u₁ и u₂ не превосходит девяти; а также разрешимость уравнения u₁ + u₂ = 2N , с теми же условиями на u₁ и u₂

  Г. Харди и Дж. Литлвуд опубликовали (1922—23) серию мемуаров под общим названием «Partitio Numerorum», в которых развили общий метод решения аддитивных задач Ч. т., получивший впоследствии название «кругового». Этот метод (на примере решения проблемы Варинга) состоит в следующем: пусть

[missing picture],

,

  тогда

  где I_k (N ) — число решений уравнений Варинга, которое находят по формуле

.

  Г. Харди и Дж. Литлвуд изучали последний интеграл при R ®1— 0. Окружность интегрирования определённым образом разбивается на «большие» и «малые» дуги (отчего и получил название метод), при этом интегралы по «большим» дугам дают главный член асимптотической формулы для I_k (N ), а по «малым» — остаточный. Т. о. получают асимптотическую формулу величины

  где s(N ) — некоторый «особый ряд»; s(N ) ³ с > 0, d >0 и k ³ (n —2)2^{n ¾1} + 5. С помощью этого метода Г. Харди и Дж. Литлвуд получили следующие результаты: дали новое решение проблемы Варинга, причём в форме более точной, чем это было у Д. Гильберта; дали условное решение проблемы Гольдбаха; сформулировали и выписали гипотетические формулы для количества решений большого числа уравнений с простыми числами.