Каждой части Т множества А соответствует часть f (T ) множества В , состоящая из образов точек этой части; она называется образом Т . Если все точки части Q множества В являются образами точек из А , то совокупность всех точек х из А таких, что f (x ) лежит в Q , называются полным прообразом Q и обозначается f –1 (Q ). При взаимно однозначном О. полный прообраз каждого элемента множества В состоит из одного элемента множества А .
Взаимно однозначное О. имеет обратное О., сопоставляющее элементу у из В его прообраз f –1 (y ). Взаимно однозначное О. называется топологическим, или гомеоморфным, если как оно, так и обратное ему О. непрерывны. При гомеоморфных О. сохраняются лишь наиболее общие свойства фигур, как, например, связность,, ориентируемость, размерность и др. Так, квадрат и круг гомеоморфны, но квадрат и куб не гомеоморфны. Свойства фигур, не изменяющиеся при гомеоморфных О., изучаются в топологии. Если в множествах А и В имеются некоторые соотношения и если эти соотношения сохраняются при О., то О. называется изоморфным относительно этих соотношений (см. Изоморфизм ).
В математическом анализе большую роль играют О. одного множества функций на другое. Например, дифференцирование может рассматриваться как О., при котором функции f (x ) соответствует функция f ’I (x ). Среди таких О. наиболее простыми являются О., при которых сумма функций переходит в сумму, а при умножении функции на число образ её умножается на то же число. Такие О. называются линейными, их изучают в функциональном анализе . См. также Линейное преобразование , Операторов теория .
В ряде случаев в множествах А и В можно ввести координаты, т. е. задавать каждую точку этих множеств системой чисел (x1 ,..., хп ) и (y1 ,..., уп ). Тогда О. задаётся системой функций ук = fk (x1 ,..., xn ). 1 £ k £ m . В большинстве встречающихся на практике случаев функции f1 , f2 ,..., fm дифференцируемые: тогда О. называется дифференцируемым. Если О. дифференцируемо, m= n и якобиан О. отличен от нуля, то О. взаимно однозначно.
Дифференцируемые О. поверхностей на поверхности изучаются в дифференциальной геометрии. Имеются свойства, общие всем дифференциально-геометрическим О. Например, на поверхности S всегда можно указать такую ортогональную сеть (см. Сети линий ), которой на поверхности S ’ соответствует также ортогональная сеть. Эта теорема имеет важное значение в картографии.
Наиболее важны следующие классы О. поверхностей. Изометрическое отображение, которое характеризуется тем, что всякая дуга, лежащая на S , имеет ту же длину, что и образ этой дуги на S ’. При таких О. сохраняются площади фигур, а также углы между двумя направлениями, выходящими из одной точки (подробнее см. Дифференциальная геометрия , Изгибание ). Конформное отображение, при котором сохраняются углы между всякими двумя направлениями, выходящими из одной точки (см. Конформное отображение ). Примером может служить стереографическая проекция. Сферическое отображение поверхности S на сферу S состоит в том, что каждой точке М поверхности S ставится в соответствие такая точка М ’ сферы S, чтобы нормали к S и S, проведённые соответственно в точках М и М ’ были параллельны. Более общим является О. двух произвольных поверхностей по параллельности нормалей. Геодезическое отображение поверхностей, при котором любой геодезической линии на поверхности S соответствует на S ’ линия также геодезическая. Геодезическая О. поверхности постоянной отрицательной кривизны на часть плоскости имеет большое значение для истолкования геометрии Лобачевского. Эквиареальное отображение поверхности на поверхность, при котором площади соответствующих друг другу фигур равны.
С точки зрения картографии, каждое из трёх О. кривой поверхности на плоскость — конформное, геодезическое и эквиареальное — имеет свои преимущества; удовлетворить сразу не только всем этим требованиям, но даже и каким-либо двум из них оказывается невозможным.
Лит.: Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Бляшке В., Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна, пер. с нем., ч. 1, М. — Л., 1935; Гильберт Д. и Конфоссен С., Наглядная геометрия, пер. с нем., 2 изд., М. — Л., 1951.
Отображения информации устройство
Отображе'ния информа'ции устро'йство, дисплей, устройство вывода данных из ЦВМ, обеспечивающее представление информации (обычно результатов обработки вводимых данных) в форме, удобной для зрительного (визуального) восприятия человеком и принятия им решений (например, в виде цифро-буквенного текста, плана, таблицы, графика, схемы, чертежа и т.д.). О. и. у. как оконечные устройства ЦВМ широко используются в системах передачи информации, в системах диагностики и машинного обучения, в научных исследованиях и при конструировании многих технических устройств, в автоматизированных системах управления и проектирования, сигнализации и контроля и т.п. системах «человек и машина» . О. и. у. подразделяют на индивидуальные и коллективные.
В качестве индивидуальных применяют О. и. у., основным элементом которых служит электроннолучевая трубка (ЭЛТ) (рис. 1 ). Координаты часто воспроизводимых знаков (букв, цифр, обозначений, специальных символов и т.п.) хранятся во вспомогательном запоминающем устройстве; центральный процессор вычислительной системы выдаёт лишь адреса этих знаков, после чего знаки на экране воспроизводятся автоматически. Такое О. и. у. способно воспроизвести на экране текст книжной страницы за 0,02—0,05 сек . Чтобы изображение на экране не мерцало, его повторно воспроизводят (регенерируют) с частотой 20—50 раз в сек . Обмен информацией с центральным процессором происходит лишь тогда, когда требуется внести изменения в изображение или передать в процессор команды оператора. В таких О. и. у. оператор может, например, при помощи светового карандаша стирать отдельные знаки, строчки и участки текста, заменять элементы схемы, рисунка, может поворачивать (в плоскости экрана) изображение, изменять его масштаб.
Кроме обычных ЭЛТ, в О. и. у. используют знакопечатающие электроннолучевые трубки , многолучевые трубки для синхронного отображения нескольких быстроменяющихся величин, трубки с оптическим окном для совмещения сложного фона (например, карты местности или чертежа), поступающего с диапроектора, с изображением, воспроизводимым электронным лучом, а также цветные телевизионные трубки. Главный недостаток О. и. у. на ЭЛТ — трудность их согласования с ЦВМ, требующего дополнительного оборудования.
Более удобны с точки зрения совместимости с ЦВМ т. н. плазменные панели. Такая панель состоит из трёх стеклянных пластин; средняя имеет отверстия (ячейки), заполненные смесью неона и азота, а на наружные нанесены шины выборки (параллельные полупрозрачные полоски золота) т. о., чтобы каждое отверстие оказалось расположенным между двумя взаимно перпендикулярными полосками. При подаче на шины управляющего напряжения (сигнала) газ в ячейках начинает светиться и это свечение сохраняется после снятия управляющего сигнала (разряд поддерживается постоянным напряжением). Для гашения элемента на выбранную пару шин подаётся сигнал противоположной полярности. Аналогично устроены матричные люминесцентные экраны (средняя пластина покрыта люминофором – точками размером около 0,25 мм 2 ). Разрабатывают экраны на светодиодах и жидких кристаллах. Первые основаны на явлении свечения некоторых полупроводников (например, фосфида и арсенида галия) под действием приложенного к ним напряжения, вторые — на изменении положения молекул в некоторых искусств, органических веществах под влиянием электрического поля. Это ведёт к изменению прозрачности или цвета соответствующих участков экрана.