Научное мышление раскрывает суть вещей, закономерность их возникновения и развития через выявление их О. с др. вещами. Характеризуя элементы диалектики, В. И. Ленин указывал на необходимость исследования О.: «Вся совокупность многоразличных отношений этой вещи к другим», «отношения каждой вещи... не только многоразличны, но всеобщи, универсальны. Каждая вещь (явление, процесс...) связаны с каждой; бесконечный процесс раскрытия новых сторон, отношений...» (там же, с. 202—03). В связи с возрастанием роли системноструктурных методов исследования категория О. приобретает всё большее значение в современной науке.

  А. Г. Спиркин.

  О. в логике. В содержательных формулировках естественных языков О. выражается обычно сказуемыми предложений, имеющих более одного подлежащего (или одно подлежащее с дополнениями); в зависимости от числа этих подлежащих (и дополнений) их называют членами, субъектами или элементами данного О.; различают двуместные (бинарные, двучленные) О. («a меньше b », «Ока короче Волги», «рельсы параллельны между собой» и т.п.), трёхместные (тернарные, трёхчленные; «точка A лежит между В и С », «5 есть сумма 2 и 3»), четырёхместные («числа x ₁ , у ₁ , и y ₂ пропорциональны»), вообще n -местные (n -арные, n -членные) О. Эти содержательные представления реализуются в точных терминах теории множеств (алгебры) и математической логики; первое из этих уточнений отражает экстенсиональный (объёмный) аспект понятия О., второе — интенсиональный (смысловой, содержательный). В теоретико-множественных терминах бинарным (n -арным) О. называется множество упорядоченных пар (соответственно упорядоченных n -ок) членов некоторого множества (поля данного О.). Если упорядоченная пара (х , у ) принадлежит некоторому О. R , то говорят также, что х находится в О. R к у [символически: R (xy ) или xRy ]; множество первых элементов упорядоченных пар, входящих в О. R , составляет его область определения (отправления), множество вторых элементов — область значений (прибытия); аналогичные понятия вводятся и для многоместных О. Отношение, состоящее из пар (у , х ), полученных перестановкой членов данного О. R пар (х , у ), называется обратным к R и обозначается через R ^–1 ; область значений одного из этих взаимно-обратных О. [термин оправдан тем, что всегда (R ^–1 )^–1 = R ] служит областью определения другого, а область определения — областью значений. Поскольку О. являются частными случаями множеств, для них обычным образом вводятся теоретико-множественные операции, в частности объединение, пересечение и дополнение О. (см. Множеств теория ). Рассмотрим некоторые свойства и основные типы важнейшего (для приложений и теоретических построений) класса О. — бинарных О.

  Свойства бинарных О. Пусть R = <х , у >. Если для любого х верно xRx , то R называется рефлексивным (примеры: О. равенства чисел — каждое число равно самому себе, подобие треугольников и т.п.). Если для любого х xRy не имеет места (символически: ù xRy ), то R называется антирефлексивным, или иррефлексивным (например, О. перпендикулярности прямых — никакая прямая не перпендикулярна самой себе). Если для любых не равных между собой х и у одно из них находится в отношении R к другому (т. е. выполнено одно из трёх соотношений xRy , х = у или yRx ), то R называется связанным (например, О. <). Если для любых х и у из xRy следует yRx , то R называется симметричным (например, О. равенства = или О. неравенства ¹). Если для любых х и у из xRy и xR ^–1 y следует х = у (т. е. R и R ^–1 выполняются одновременно лишь для равных между собой членов), то R называется антисимметричным (например, О. £ и ³ для любых объектов). Если для любых х и у из xRy следует ù xRy , то R называется асимметричным (таковы, например, О. < и >, поскольку никакой объект не больше и не меньше себя). Если для любых х , у и z из xRy и yRz следует xRz , то R называется транзитивным (таковы, например, О. = или <, но не ¹). Можно было бы определить и др. свойства бинарных О., но нетрудно показать, что уже через эти свойства посредством логических операций определяются все прочие.

  Типы отношений. Значительная часть приводимых ниже типов О. уже встречалась выше в примерах. Сочетание свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности приводит нас к важнейшему типу О. — это О. типа равенства (тождества , эквивалентности ). Нетрудно показать, что любое такое О. индуцирует (определяет) разбиение множества, на котором оно определено, на непересекающиеся классы — т. н. классы эквивалентности: элементы, связанные данным О., попадают в общий класс, не связанные — в различные. Т. о., элементы, попавшие в общий класс, в известном смысле неразличимы, что и определяет важность этого типа О.

  Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960; Уемов А. И., Вещи, свойства и отношения, М., 1963; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971.

  Ю. Л. Гастев.

Ото...

Ото... (от греч. ús, род. падеж ōtós — ухо), часть сложных слов, указывающая на их отношение к уху, болезням уха (например, оториноларинголог, отосклероз).

Отображение

Отображе'ние (матем.) множества А в множество В , соответствие, в силу которого каждому элементу х множества А соответствует определённый элемент у = f (x ) множества В , называют образом элемента х (элемент х называют прообразом элемента у ). Иногда под О. понимают установление такого соответствия. Примерами О. могут служить параллельное проектирование одной плоскости на другую, стереографическая проекция сферы на плоскость. Географическая карта может рассматриваться как результат О. точек земной поверхности (или части её) на точки куска плоскости. Логически понятие «О.» совпадает с понятиями функция , оператор , преобразование . Как средство исследования О. даёт возможность заменять изучение соотношений между элементами множества А изучением соотношений между элементами множества В , что в ряде случаев может оказаться проще. Так, параллельным проектированием можно отобразить параллелограмм в квадрат, центральным проектированием – любую линию второго порядка в окружность и т.д. Многие свойства остаются неизменными (инвариантными) при О. Так, при параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых, отношение отрезков длин параллельных прямых и т.д.

  Если каждый элемент множества В является образом элемента множества А , то О. называется отображением А на множество В . Если каждый элемент из В имеет один и только один прообраз, то О. называется взаимно однозначным. О. называется непрерывным, если близкие элементы множества А переходят в близкие элементы множества В . Точнее это означает, что если элементы x ₁ , x ₂ ,..., х_п ,... сходятся к x , то элементы f (x ₁ ), f (x ₂ ),..., f (хn ),... сходятся к f (x ).