Лит.: Энгельс Ф., Анти-Дюринг, Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20; Аристотель, Аналитики первая и вторая, пер. с греч., М., 1952; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Горский Д. П., О видах определений и их значении в науке, в сборнике: Проблемы логики научного познания, М., 1964; Карри X. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969, гл. 1—3.

  Ю. А. Гастев.

Определение судебное

Определе'ние суде'бное , по советскому праву: 1) решение суда первой инстанции по отдельным процессуальным вопросам, возникающим в ходе уголовного или гражданского дела, а также о прекращении дела; 2) всякое решение, принятое судом кассационной или надзорной (кроме президиумов и пленумов судов) инстанций (об оставлении без изменения, отмене или изменении приговора или постановления суда первой инстанции); 3) решение о назначении принудительных мер медицинского характера; 4) решение суда, которым обращается внимание соответствующих организаций или должностных лиц на обстоятельства, способствовавшие правонарушениям (т. н. частное, или особое, О. с.). О. с. выносятся в совещательной комнате либо после совещания судей на месте, оформляются в виде отдельного документа или заносятся в протокол судебного заседания. Закон устанавливает перечень О. с., которые могут быть обжалованы или опротестованы (например, ст. 331 УПК РСФСР).

Определение через абстракцию

Определе'ние че'рез абстра'кцию , способ описания (выделения, «абстрагирования») не воспринимаемых чувственно («абстрактных») свойств предметов путём задания на предметной области некоторого отношения типа равенства (тождества , эквивалентности ). Такое отношение, обладающее свойствами рефлексивности , симметричности и транзитивности , индуцирует разбиение предметной области на непересекающиеся классы (классы абстракции, или классы эквивалентности), причём элементы, принадлежащие одному и тому же классу, неотличимы по определяемому т. о. свойству. Так, например, в политической экономии определяется стоимость (через отношение обмениваемости товаров), в теории множеств — мощность множеств (через отношение теоретико-множественной эквивалентности). О. ч. а. всегда (хотя обычно и неявно) опирается на т. н. принцип абстракции, или принцип свёртывания, согласно которому каждому свойству соотносится класс (множество) объектов, обладающих этим свойством. В практических приложениях этот принцип весьма удобен, естествен и плодотворен; но постулирование его как универсального методологического закона приводит к трудностям, проявляющимся прежде всего в виде парадоксов (логики и теории множеств). См. Аксиоматический метод , Метаматематика , Непротиворечивость .

Определённый интеграл

Определённый интегра'л , одно из основных понятий математического анализа, к которому приводится решение ряда задач геометрии, механики, физики. О. и. является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм), соответствующих функции f (x ) и отрезку [ а , b ]; обозначается

. Геометрически О. и. выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной отрезком [ а , b ] оси Ох , графиком функции f (x ) и ординатами точек графика, имеющих абсциссы а и b . Точное определение и обобщение О. и. см. в статьях Интеграл , Интегральное исчисление .

Определитель

Определи'тель , детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана матрица порядка n , т. е. квадратная таблица, составленная из п ² элементов (чисел, функций и т. п.):

 (1)

  (каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами: первый указывает номер строки, второй — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент). Определителем матрицы (1) называется многочлен, каждый член которого является произведением n элементов матрицы (1), причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида

å ± a _{1 a} a _{2 b} ...a_{n g} . (2)

  В этой формуле a, b, ..., g есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., n . Перед членом берётся знак +, если перестановка a, b, ..., g чётная, и знак – , если эта перестановка нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечётной – в противоположном случае; так, например, перестановка 51243 – нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование производится по всем перестановкам a, b, ..., g чисел 1, 2, ..., n . Число различных перестановок n символов равно n ! = 1·2·3·...·n ; поэтому О. содержит n ! членов, из которых ¹ /₂ n ! берётся со знаком + и ¹ /₂ n ! со знаком –. Число n называется порядком О.

  О., составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:

 (3)

(или, сокращённо, в виде |a_ik |). Для О. 2-го и 3-го порядков имеем формулы:

= a ₁₁ a ₂₂ – a ₁₂ a ₂₁ ,

 

 = a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃ + a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁ + a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂ – a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂ – a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃ – a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁ .

О. 2-го и 3-го порядков допускают простое геометрическое истолкование:

 равен площади параллелограмма, построенного на векторах a ₁ = (x ₁ , y ₁ ) и a ₂ = (х ₂ .у ₂ ), а  равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах a ₁ = (x ₁ , y ₁ , z ₁ ), a ₂ = (x ₂ , у ₂ , z₂ ) и а ₃ = (х ₃ , y ₃ , z ₃ ) (системы координат предполагаются прямоугольными).

  Теория О. возникла в связи с задачей решения систем алгебраических уравнений 1-й степени (линейные уравнения ). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде: