Соч.: Gesammelte Abhandlungen, Bd 1—3, В., 1932—35; в рус. пер. — Основания геометрии, М. — Л., 1948; Основы теоретической логики, М., 1947 (совм. с В. Аккерманом); Наглядная геометрия, 2 изд., М. — Л., 1951 (совм. с С. Кон-Фоссеном).

  Лит.: Проблемы Гильберта. Сборник, под ред. П. С. Александрова, М., 1969; Weyl Н., David Hilbert and his mathematical work, «Bulletin of the American Mathematical Society», 1944, t. 50, p. 612—54; Reid C., Hilbert, В., 1970.

  А. Н. Колмогоров.

Д. Гильберт.

Гильберт (единица магнитодвижущей силы)

Ги'льберт, единица магнитодвижущей силы или разности магнитных потенциалов в Гауссовой и СГСМ абсолютных системах единиц. Названа в честь английского физика У. Гильберта. Сокращенное обозначение: русское гб, международное Gb. 1 гб = 0,795775 ампер (единицы магнитодвижущей силы Международной системы единиц); см. также (СГС система единиц).

Гильберт Уильям

Ги'льберт, Гилберт (Gilbert) Уильям (24.5.1544, Колчестер, — 30.11.1603, Лондон или Колчестер), английский физик, придворный врач. Г. принадлежит первая теория магнитных явлений. Он впервые выдвинул предположение, что Земля является большим магнитом, и, намагнитив железный шар, показал, что он действует на магнитную стрелку так же, как и Земля. Предположил, что магнитные полюсы Земли совпадают с географическими. Г. установил, что многие тела, подобно янтарю, обладают свойством притягивать лёгкие предметы после натирания. Он исследовал эти свойства и назвал их электрическими (по-гречески янтарь — электрон), впервые введя этот термин в науку. Г. первым в Англии выступил с критикой учения Аристотеля и в защиту учения Н. Коперника.

  Соч.: De magneto, magneticisque corporibus et de magno magneto tellure. Physiologia поуа, L., 1600; De mundi nostri sublunaris philosophia nova, Amst., 1651; в рус. пер. — О магните, магнитных телах и большом магните — Земле. Новая физиология, доказанная множеством аргументов и опытов, М., 1956.

  Лит.: Лебедев В. И., Исторические опыты по физике, М. — Л., 1937; Д. Р., Уильям Гильберт. К 50-летию со дня смерти, «Электричество», 1953, № 12.

Гильбертово пространство

Ги'льбертово простра'нство, математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного логического вывода из работ нем. математика Гильберта в результате обобщения фактов и методов, относящихся к разложениям функций в ортогональные ряды и к исследованию интегральных уравнений. Постепенно развиваясь, понятие «Г. п.» находило все более широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики; оно принадлежит к числу важнейших понятии математики.

  Первоначально Г. п. понималось как пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов (т. н. пространство l₂). Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности

  x = (x₁, x₂,..., x_n,...)

  такие, что ряд x²₁ + x²₂ +... + х²_n + ... сходится. Сумму двух векторов х + y и вектор lx, где l — действительное число, определяют естественным образом:

  x + y = (x₁ + y₁,..., x_n + y_n,...),

  lx = (lx₁, lx₂, ..., lx_n,...)/

  Для любых векторов х, y Î l₂ формула

  (x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + ... +x_ny_n + ...

  определяет их скалярное произведение, а под длиной (нормой) вектора х понимается неотрицательное число

 

  Скалярное произведение всегда конечно и удовлетворяет неравенству |(х, у)| £ ||x|| ||y||. Последовательность векторов х_n называется сходящейся к вектору х, если ||х_n—х|| ® 0 при n ® ¥. Многие определения и факты теории конечномерных евклидовых пространств переносятся и на Г. п. Например, формула

 

  где 0 £ j £ p определяет угол j между векторами х и у. Два вектора х и у называются ортогональными, если (х, у) = 0. Пространство l₂ полно: всякая фундаментальная последовательность Коши элементов этого пространства (т. е. последовательность х_n, удовлетворяющая условию ||х_п—х_m||® 0 при n, m ® ¥) имеет предел. В отличие от евклидовых пространств, Г. п. l₂ бесконечномерно, т. е. в нём существуют бесконечные системы линейно независимых векторов; например, такую систему образуют единичные векторы

  e₁ = (1, 0, 0,...), e₂ = (0, 1, 0,...),...

  При этом для любого вектора x из l₂ имеет место разложение

  x = x₁e₁ + x₂e₂ +...     (1)

  по системе {e_n}.

  Другим важным примером Г. п. служит пространство l₂ всех измеримых функций, заданных на некотором отрезке [a, b], для которых конечен интеграл

 

  понимаемый как интеграл в смысле Лебега. При этом функции, отличающиеся друг от друга лишь на множество меры нуль, считаются тождественными. Сложение функций и умножение их на число определяется обычным способом, а под скалярным произведением понимается интеграл

 

  Норма в этом случае равна

 

  Роль единичных векторов предыдущего примера здесь могут играть любые функции j_i(x) из L₂, обладающие свойствами ортогональности

 

  и нормированности

 

  а также следующим свойством замкнутости: если f(x) принадлежит L₂ и

 

  то f(x) = 0 всюду, кроме множества меры нуль. На отрезке [0,2p] в качестве такой системы функций можно взять тригонометрическую систему

 

  Разложению (1) соответствует разложение функции f(x) из L₂ в ряд Фурье

 

  сходящийся к f(x) по норме пространства L₂. При этом для всякой функции f(x) выполняется равенство Парсеваля

 

  Соответствие между функциями f(x) из L₂ и последовательностями их коэффициентов Фурье a, a₁, b₁, a₂, b₂,... является взаимно однозначным отображением L₂ на l₂, сохраняющим операции сложения, умножения на числа, а также сохраняющим длины и скалярные произведения. Т. о., эти пространства изоморфны и изометричны, значит имеют одинаковое строение.