В начале немецкого вторжения в Чехословакию семья Штраусслер бежала в Сингапур. В связи с угрозой неминуемого японского вторжения в 1941 году Марта Штраусслер (урожд. Бек) вместе с двумя сыновьями была вынуждена бежать дальше в Индию. Его отец, врач обувной фирмы «Батя» Евжен Штраусслер, вместе с другими мужчинами — работниками фирмы был оставлен в Сингапуре, интернирован японскими войсками после захвата ими города и погиб при бомбардировке на море. Оставшиеся в Чехословакии родственники Стоппарда, включая бабушек, дедушек и трёх сестёр его родителей, погибли во время оккупации.

В 1946 году мать Томаша вторично вышла замуж за майора британской армии Кеннета Стоппарда и уехала вместе с ним в Англию. Стоппард, дав мальчикам свою фамилию, сделал всё, чтобы они выросли настоящими британцами. Том учился в частных школах-интернатах в Ноттингемшире и Йоркшире. В 1954 году, когда Тому было 17 лет, его выгнали из школы и он занялся журналистикой, сотрудничая в бристольских газетах. Приехав в 1960 году в Лондон, он начинает писать для радио и телевидения, работал театральным критиком под псевдонимом Уильям Бут (англ. William Boot).

Написанная в 1966 году пьеса «Розенкранц и Гильденстерн мертвы» (англ. Rosencrantz and Guildenstern are Dead) принесла Стоппарду известность (на русский язык переведена И. А. Бродским).

В 1970-ых начинается международная политическая активность Стоппарда. В феврале 1977 года Стоппард впервые побывал в Москве вместе с людьми из "Amnesty International". Как он пишет, «В Москве, кстати, мне было страшно. Тут было серо, холодно, за мной следили, фотографировали на улицах, в Питере было чуть лучше». В июне Стоппард встретился с Владимиром Буковским в Лондоне и поехал в Чехословакию. Там он познакомился с оппозиционным драматургом Вацлавом Гавелом, которому посвятил свою следующую пьесу «Профессиональный трюк», в предисловии к которой писал, что поводом к созданию пьесы стало появление «Хартии-77». Стоппард также перевел некоторые работы Гавела на английский, работал в журнале "Index on Censorship", защищающим свободу слова, и в комиссии против злоупотребления психиатрией. В 1983 году в Стокгольме была основана премия Тома Стоппарда для неофициальных чешских авторов.

В 2000 году Стоппард получает от королевы Елизаветы II британский орден «За заслуги» и становится сэром Томом.

У него четверо сыновей от двух браков и, как говорит сам Стоппард, «один мой сын — актер, а другой совершенно не любит театр».

Вторая жена Стоппарда (1972–1992) — Мириам Стоппард (урожд. Стерн, p. 1937) — английский литератор и телеведущая. Сын Стоппарда — Эдмунд Стоппард (р. 1974) — британский театральный актёр. Невестка Стоппарда — британская скрипачка Линзи Стоппард (р. 1979). Племянница Стоппарда — британский политик-лейборист и парламентарий Уна Кинг (р. 1967).