— Машины-переводчики, машины-шахматисты, думающие машины, машины-творцы — всё это миф!

— ?!!

— Давным-давно пора прекратить болтовню о необыкновенных способностях машин! Это плод досужей фантазии популяризаторов.

— Но как можно отрицать успехи кибернетики! Это верх несправедливости. Они поистине грандиозны. То ли ещё ждёт нас впереди!

— Заблуждение! Вот говорят: в каждом знании ровно столько науки, сколько в нём математики. Математика пронизывает всю кибернетику. И не только её. Математизация знаний стала поветрием, модой. Между тем современная математика, эта царица наук, переживает самый настоящий кризис. Её логические устои шатки, её аппарат несовершенен, она полна неразрешимых противоречий, из которых не может выпутаться вот уже третье тысячелетие. Да и возможности человеческого разума ограничены…

— Человеческого разума?! Ну, это уж слишком! Так могут рассуждать либо невежды, либо сумасшедшие!..

Где кончается здравый скептицизм и начинается голый нигилизм? Где вера во всесилие человеческого разума переходит в излишнюю самоуверенность, игнорирующую трудности?

Читатель, должно быть, помнит курьёзный эпизод из романа Сервантеса «Дон-Кихот». Не успел Санчо Панса освоиться со своим губернаторским положением, как ему учинили хитроумное испытание.

Некое поместье делится на две половины многоводною рекою. Через реку переброшен мост, а поблизости зловеще возвышается виселица. Закон гласит: «Всяк проходящий по мосту через сию реку долженствует объявить под присягою, куда и зачем он идёт; кто скажет правду, тех пропускать беспрепятственно, а кто солжёт, тех без всякого снисхождения казнить через повешение».

И надо же было так случиться, что однажды некий человек, приведённый к присяге, заявил: он-де клянётся, что пришёл сюда, дабы его… вздёрнули на эту вот самую виселицу и ни за чем другим. Стоило видеть недоумение судей! В самом деле, если позволить чудаку-незнакомцу следовать дальше, то это будет означать, что он нарушил присягу и согласно закону подлежит казни. С другой стороны, как его повесить? Ведь он клялся, будто только затем и пришёл, чтобы его повесили, — стало быть, присяга его не ложна, и на основании этого же самого закона надлежит пропустить его неприкосновенным.

Бедняга Санчо не мог похвастать мудростью библейского царя Соломона. Однако он безропотно взялся за нелёгкое дело и ничтоже сумняшеся рассудил так: «Ту половину человека, которая сказала правду, пусть пропустят, а ту, что соврала, пусть повесят». «Но, сеньор губернатор, — возразил ошеломлённый оппонент, — если разрезать человека на части, то он непременно умрёт, и тогда ни та, ни другая статья закона не будет исполнена. Между тем закон требует, чтобы его соблюли во всей полноте!» Сеньор губернатор, окончательно поставленный в тупик, по доброте душевной, посоветовал просто-напросто отпустить странного просителя на все четыре стороны.

Итак, закон был нарушен. Но что мог поделать добрый простак Санчо, который не умел даже расписаться под своим решением? Ну, а мы, читатели Сервантеса, находясь во всеоружии логики и математики, можем ли мы спустя 400 лет справиться с подобными головоломками?

Чтобы разобраться в этом вопросе, нам придётся заглянуть в удивительный мир парадоксов, побывать по ту сторону здравого смысла.

Парадоксы известны с незапамятных времён.

Знаменитому критскому философу Эпимениду, жившему в VI веке до нашей эры, приписывается довольно нелестный отзыв о своих соотечественниках: «Все критяне — лжецы». Только вот беда: сам Эпименид тоже критянин! Получается, что если Эпименид говорит правду, то он лжец, значит, он возводит напраслину на своих земляков и на себя самого, то есть говорит неправду. Как же всё-таки: ложно или истинно высказывание, порочащее обитателей острова — колыбели человеческой культуры?

Парадокс Эпименида, известный иначе как «парадокс лжеца», встречается ещё и в менее афористической, зато более сильной форме: «я лгу», или «высказывание, которое я сейчас произношу, ложно». Стоящее в кавычках выражение, очевидно, не может быть без противоречия ни истинным, ни ложным. Этот вариант парадокса принадлежит Эвбулиду (IV век до н. э.).

В 1913 году английский математик Джордан добавил в копилку парадоксов такой. На одной стороне карточки начертано: Утверждение на обороте этой карточки истинно.

Что же это за утверждение? Перевернув карточку, вы читаете: Утверждение на обороте этой карточки ложно.

Вот и поди разберись, что к чему. Если верить первому сообщению, то второе правильно. Но ежели правильно второе, то неверно первое! И наоборот.

В античной «дилемме крокодила» ситуация столь же трагикомична и нелепа, что и у Сервантеса. Крокодил похищает ребёнка. Чудовище обещает родителям вернуть дитя, если отец угадает, отдаст ему крокодил ребёнка или нет. Что делать бедному чудовищу, если отец вдруг скажет, что крокодил не возвратит ему ребёнка?

Мы часто прибегаем в спорах к услугам аргумента «нет правил без исключений», забывая, что это выражение само есть правило и, выходит, тоже должно иметь исключения. Парадокс? Несомненно. И он возник потому, что санкции, декларируемые законом, мы применили к самому закону. Так что будьте осторожны с подобными аргументами: они чреваты логическими подвохами!

Любопытен изящный логический парадокс, сформулированный в 1908 году немецким математиком Куртом Греллингом. Чтобы войти в курс дела, разберём определение автологичного (самоприменимого) имени прилагательного. Большинство прилагательных не обладает качеством, которое оно обозначает. Скажем, слово «красный» само по себе не имеет красного цвета, слово «ароматный» не пахнет. Зато прилагательное «русский» — действительно русское, «трёхсложный» — трехсложно, «абстрактный» — абстрактно и т. д. Каждое из этих прилагательных, по терминологии Греллинга, автологично, то есть имеет силу применительно к самому себе, обладая тем же качеством, которым оно наделяет другие понятия. Иное дело — гетерологичные, то есть несамоприменимые прилагательные. Скажем, слово «трёхсложная» — само по себе вовсе не трехсложно, «бесконечный» имеет конечные размеры, «конкретный» — по смыслу абстрактно.