Сравнивая движение материальной точки в поле сил, не зависящем от времени, с распространением волн в преломляющих средах, состояние которых также не зависит от времени, мы показали, что между принципами Мопертюи и Ферма существует определенная аналогия. Сравнивая движение материальной точки в переменных во времени силовых полях с распространением волн в преломляющих средах с параметрами, меняющимися во времени, замечаем, что аналогия между принципом наименьшего действия в его общем виде, предложенном Гамильтоном, и принципом Ферма, обобщенном на случай преломляющих сред, состояние которых зависит от времени, сохраняется и в этом, более общем случае. Не будем останавливаться на этом вопросе. Для нас достаточно будет лишь, что эта аналогия между двумя основными принципами механики и геометрической оптики имеет место не только в рассмотренном нами выше, хотя и очень важном, но все же частном случае постоянных полей, но и в более общем случае переменных полей.

Принцип стационарного действия справедлив и для систем материальных точек. Для его формулировки нам удобно вести конфигурационное пространство, соответствующее рассматриваемой системе. В качестве примера ограничимся случаем, когда потенциальная энергия системы не зависит явно от времени. Таков, например, случай изолированной системы, на которую не действуют внешние силы, поскольку потенциальная энергия ее при этом сводится только к энергии взаимодействия и не зависит явно от времени. В этом случае, вводя 3N-мерное конфигурационное пространство и вектор в этом пространстве, 3N компонент которого совпадает с компонентами векторов количеств движения N материальных точек системы, принцип наименьшего действия в форме Мопертюи можно сформулировать следующим образом. Траектория изображающей точки системы, проходящая через две заданные точки A и B в конфигурационном пространстве, делает минимальным криволинейный интеграл от введенного выше 3N-мерного вектора, взятый по отрезку траектории между точками A и B, по сравнению с такими же интегралами, взятыми по отрезкам других кривых в конфигурационном пространстве, проходящих через те же точки A и B. Этот принцип легко получить также из теории Якоби. Аналогия же его с принципом Ферма следует из возможности представления траекторий изображающей точки в конфигурационном пространстве в виде лучей волны, распространяющейся в этом пространстве. Итак, мы снова видим, что для систем материальных точек переход от классической механики к волновой можно осуществить лишь в рамках абстрактного конфигурационного пространства.

Глава II. Классическая физика

1. Дальнейшее развитие механики

В предыдущей главе мы не собирались давать сколько-нибудь полного обзора классической механики. Тем более мы не собираемся излагать в этой главе всю классическую физику. Мы отметим здесь лишь ее основные разделы и сделаем несколько замечаний по поводу каждого из них.

К первому разделу классической физики, развившейся на базе механики, можно отнести гидродинамику, акустику, теорию упругости. Эти области возникли раньше других, поскольку круг явлений, которые они изучают, был наиболее тесно связан с практической жизнью. С теоретической точки зрения они являются непосредственным продолжением механики, из которой они заимствовали свои основные принципы и методы, дополнив их гипотезами, подсказанными опытом. Следует, правда, сказать, что эти теории не предполагают, что твердые тела, жидкости или газы имеют дискретную структуру. Напротив, они исходят из представления о непрерывной структуре материи. При этом считается, что каждый элемент объема этой непрерывной среды взаимодействует со всеми соседними элементами согласно законам механики. Однако ничто не мешает совместить используемые при этом методы с предположением об атомной структуре вещества, если рассматривать элементы объема, хотя и достаточно малые, но все же содержащие в себе чрезвычайно большое число молекул.

Эти разделы классической физики, непосредственно продолжающие механику, хотя и основаны на принципах, вытекающих из законов классической механики, в действительности очень сложны и потребовали для своего развития немалых усилий экспериментаторов и теоретиков.

Физические явления в этих областях далеко не просты и с трудом поддаются изучению. Расчеты здесь часто требуют привлечения сложного математического аппарата. Поэтому хотя эти науки уже давно существуют, они продолжают непрерывно развиваться. Их применяют при изучении широкого круга практических вопросов, и знание этих разделов физики совершенно необходимо инженерам. Применительно к практическим требованиям, когда непосредственные приложения важнее, чем общая теория, пользуются приближенными формами этой теории, такими, как гидравлика и сопротивление материалов.

Здесь мы закончим знакомство с этими дисциплинами. Дальнейшее развитие физики, возможно, приведет к их различным модификациям, однако до сих пор кванты играли тут незначительную роль, и поэтому рассмотрение этих вопросов выходит за рамки книги.

2. Оптика

Если гидродинамика или теория упругости не представляют непосредственного интереса для изучения квантовой теории, то с оптикой дело обстоит совершенно иначе, поскольку ее прогресс тесным образом связан с развитием новейшей физики. Подобно явлениям, происходящим с твердыми и жидкими телами, световые явления также с ранних пор привлекали к себе внимание людей. Но только в XVII в. оптика начала формироваться в настоящую науку. В этот период Декарт сформулировал законы преломления и отражения света и Ферма предложил свой принцип, в котором содержится вся геометрическая оптика. В течение всего этого периода развития оптики понятие световых лучей играло в ней главную роль: изучалось прямолинейное распространение световых лучей в пустоте или в однородных средах, отражение их от зеркальных поверхностей и преломление при переходе из одной среды в другую и, наконец, искривление световых лучей при распространении света в неоднородных преломляющих средах. Тогда же Христиан Гюйгенс предложил другую интерпретацию тех же явлений, основанную на понятиях волны и волновой поверхности. Он показал, кроме того, что его метод также объясняет недавно открытое явление двойного лучепреломления в исландском шпате.

С чисто геометрической точки зрения метод, основанный на понятии световых лучей, и метод, использующий понятие волновых поверхностей, полностью эквивалентны. В рамках геометрической оптики без труда можно перейти от одного метода рассмотрения к другому и убедиться в этой эквивалентности. Лучи представляют собой кривые, ортогональные семейству волновых поверхностей, и принцип Ферма является прямым следствием этого факта.

Однако эти два формально эквивалентных метода приводят к существенно различным взглядам на физическую природу света в зависимости от того, какое из этих понятий – световой луч или волновую поверхность – принять за первичное.

Предположение о том, что понятие светового луча основное, а волновой поверхности – вспомогательное, приводит к выводу о корпускулярной природе света. Согласно этой гипотезе, свет представляет собой совокупность мельчайших частиц, движущихся вдоль определенной траектории – светового луча. Прямолинейность распространения света в однородных средах и явление отражения его от поверхности зеркал находят себе в этой теории наглядное и естественное объяснение. Исходя из этого представления, можно объяснить также, хотя и несколько сложнее, явление преломления светового луча на границе двух сред. С этой точки зрения, именно световые лучи, т е. траектории световых частиц, имеют физический смысл. Волновые же поверхности – лишь чисто вспомогательное геометрическое понятие, позволяющее объединить лучи в некоторые семейства, подобно тому как в механике интегральные поверхности уравнения Якоби позволяют разбить совокупность различных траекторий частиц на семейства кривых, ортогональных интегральным поверхностям. Можно, однако, пойти по другому пути и считать, что первичным основным понятием является понятие волны и волновой поверхности. Этот путь приводит нас к представлению о волновой природе света. Согласно этой точке зрения, свет представляет собой волны, распространяющиеся в пространстве, лучи же оказываются чисто абстрактным понятием и определяются просто как кривые, ортогональные волновым поверхностям. Тонкий анализ Гюйгенса показал, что волновая теория объясняет явления отражения и преломления. Однако объяснение прямолинейности распространения света в однородных средах, столь очевидное в корпускулярной теории, где оно непосредственно следует из закона инерции, в волновой теории на первый взгляд отнюдь не так просто.