СТОЛ НАХОДОК

Целый день провели в бухте Чисел.

Признаюсь, с числами у меня нелады. То забуду при делении снести следующую цифру, особенно нуль, то никак не перемножу правильно семь и восемь — всё получается 58.

Но самое трудное — запомнить какое-нибудь большое число. У меня на числа очень плохая память, всегда я их забываю!

И что же вы думаете? Только мы сошли на берег, как у самой пристани увидели дом с такой вывеской:

Выходит, забытое число можно найти, как зонтик, оставленный в троллейбусе? А я как раз забыл номер своего телефона и решил зайти в стол находок. Кок сказал, что тоже забыл свой телефон, и мы пошли вместе.

Заведующий принял нас радушно и сразу же стал уверять, что нам нечего беспокоиться; если мы забыли важное число, он непременно его найдёт.

У него, оказывается, здесь хранятся все числа, какие есть на свете.

— Итак, что за приметы у вашего числа? — обратился он ко мне.

— Здравствуйте! Разве у чисел бывают приметы?

— А как же! — ответил Заведующий. — У чисел столько примет, свойств, столько неожиданных взаимоотношений, таинственных связей, что далеко не все из них разгаданы. Поэтому, прежде чем забыть какое-нибудь число, надо запомнить хотя бы несколько его примет.

Мы пообещали в следующий раз забывать числа осмотрительнее и попросили рассказать, какие же у чисел бывают приметы.

Заведующий выдвинул из шкафа ящичек и достал наугад карточку. На ней было написано: 284 130.

— Ух, какая огромная цифра! — выдохнул я.

Заведующий ужаснулся:

— Что ты говоришь?! Разве это цифра? Это число! Цифры не могут быть огромными или маленькими. Они ведь всего-навсего знаки, которыми записывают числа. Как слово — буквами. Но, несмотря на то что цифр только десять, ими можно записать бесконечное множество чисел. Так вот, — продолжал он, число 284 130 записано шестью цифрами, поэтому оно ШЕСТИЗНАЧНОЕ. Значность — первая важная примета ЦЕЛОГО числа. А вы, надеюсь, уже поняли, что наше число-целое. Эта примета тоже немаловажная. Что ещё можно сказать о числе 284 130? Конечно, то, что оно ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ. Почему положительное? Да потому что оно больше нуля.

— Можно подумать, есть числа меньше нуля!

— Конечно, есть, — возразил Заведующий, и нетрудно догадаться, что их называют ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ.

Постойте, постойте! Это я уже слышал: про положительные и отрицательные числа и ещё про то, что нуль, как верный страж, стоит между ними, говорил Президент острова Нуль. Но я тогда не понял, что это за числа, которые меньше нуля. И неужели без них нельзя обойтись? Оказалось, никак нельзя!

— Без отрицательных чисел математики как без рук, — сказал Заведующий. — Попробуй положить на стол 3 яблока и отнять от них 5. Ничего не выйдет! С яблоками не выйдет, а с числами сколько угодно: 3–5 = -2. Получилось отрицательное число: минус два!

Вот так фокус! Мы страшно удивились, но ещё больше удивился Заведующий.

— Вы что, никогда не видели термометра? — спросил он. — Представьте себе, что он показывает 3 градуса тепла (+3), а потом температура вдруг понизится на 5 градусов. Что вы тогда увидите на термометре?

— Два градуса мороза, — сказал Пи.

— Правильно, два градуса ниже нуля, то есть минус 2 градуса. Вот вы и вычли из трёх пять и получили минус два!

— Теперь понятно, — сказал Пи.

— А вот ещё один признак нашего числа, — продолжал Заведующий, — оно ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ.

Ха! Выходит, есть и недействительные? Ну и чудак! Может, он… того? Но чудак посмотрел на нас вполне нормальными глазами и сказал, что смеяться нечего, потому что такие числа есть. Их называют МНИМЫМИ. Только он, к сожалению, не может сейчас объяснить, что это за числа. Да они нам пока и не понадобятся, потому что номера телефонов мнимыми не бывают.

Но это было не всё. У нашего числа выискался ещё один важный признак: оно РАЦИОНАЛЬНОЕ. Это значит, что его можно совершенно точно записать или отложить на линейке. И тут мы с коком сразу смекнули, что есть, стало быть, числа, которые точно записать нельзя. И не ошиблись: такие числа в самом деле есть, и называются они ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ. Их можно записать только приближённо. Вот, например, число «пи»: оно приближённо равно трём целым и четырнадцати сотым.

Это-то мы знали. Но вот новость: выходит, мой друг Пи — иррациональное число! Век живи — век учись!

Итак, что же мы узнали о числе 284 130? Мы узнали, что оно шестизначное, целое, положительное, действительное, рациональное.

— Добавьте ещё, что оно ЧЁТНОЕ, — сказал Заведующий. — Видите, как много у него признаков. И всё-таки их недостаточно. Чтобы найти забытое число, нужно знать не только простейшие, но и особые его признаки — ну хотя бы сумму его цифр. Для нашего числа она равна 18 (2 + 8 + 4 + 1 + 3 + 0 = 18). Обратите также внимание на то, что число 284 130 — СОСТАВНОЕ: его можно разложить на множители.

И тут я опять подумал, что если есть числа, которые разложить на множители можно, значит, есть числа, которые разложить на множители нельзя. И снова попал в самую точку. Почти. Потому что такие числа есть (их называют ПРОСТЫМИ), но они всё-таки делятся на единицу и на самих себя. А больше ни на что. Вот, например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Конечно, это только первые простые числа, всего-то их бесконечное множество. Самое большое из найденных простых чисел записывается более чем тысячью тремястами знаков. С ума сойти! А какое следующее — неизвестно. Пока еще не вычислили. Впрочем…

Тут Заведующий посмотрел на нас, засмеялся и сказал, что нам в самый раз пойти отдохнуть. Тем более, что рабочий день его кончился. Мы поблагодарили его и пошли на Фрегат.

НОВЫЕ ПРИЗНАКИ

Сегодня утром капитан сказал, что и этот день Фрегат простоит в бухте Чисел.

Мы с коком тотчас отправились на берег и сами не заметили, как снова очутились у стола находок. Заведующий, казалось, ничуть не удивился нашему приходу и тут же вынул карточку со знакомым нам уже числом 284 130.

— Вчера вы сказали, что это число составное, — вспомнил Пи. — Как это надо понимать?

— Потому что сразу видно, что это число ОБЯЗАТЕЛЬНО разделится и на 2, и на 3, и на 5, и на 6, и на 9, и на 10, и на 11!

Мы так и ахнули! Как он догадался?

А он вовсе и не догадывался, а знал признаки делимости на эти числа. Оказалось, что число 284 130 делится на 2 потому, что оно чётное. Чтобы узнать, делится ли число на 3 и на 9, надо узнать сумму его цифр. Если эта сумма делится на 3 и на 9, значит, на 3 и на 9 делится и само число. Сумма цифр нашего числа равна 18. А 18 делится и на 3, и на 9. Значит, на них же делится и наше число.

— Пойдём дальше, — продолжал Заведующий. — Раз наше число делится на 2 и на 3, оно, конечно, делится и на 6. Ведь 6 = 2*3. А на 5 и на 10 оно делится потому, что оканчивается нулём. Как видите, ничего сложного здесь нет.

— Вы забыли про число 11, - напомнил Пи. — Какой признак делимости на него?

— Про 11 я действительно забыл, — смущённо улыбнулся Заведующий. Этот признак несложен. Чтобы узнать, делится ли число 284 130 на 11, я сложил его цифры через одну, — сперва те, что стоят на нечётных местах: 2 + 4 + 3 = 9, а затем те, что на чётных: 8 + 1 + 0 = 9. Как видите, обе суммы одинаковы, а это верный признак делимости на 11. А теперь, — Заведующий торжественно поднял палец, — я расскажу вам ещё о двух замечательных особенностях нашего числа. Обратите внимание на первые две его цифры: они образуют двухзначное число 28, а первые три цифры — трёхзначное число 284.

Каждое из этих чисел замечательно по-своему. Начнём с числа 28. Какие у него младшие делители? Это 1, 2, 4, 7 и 14. Сложите их.