Заметим, как называет Галилей это новорожденное понятие-парадокс. Он дает ему несколько имен, каждое из которых несет на себе след того приема мысли, с помощью которого это понятие появилось на свет: "пустые точки", "неделимые пустоты", "неконечные части линии" и, наконец, просто "неделимые", или "атомы".
Вот тут, на исходе XVI в., впервые действительно появляются те самые "математические атомы", или "амеры", которые С.Я. Лурье нашел у Галилея и его ученика Кавальери и попытался - но без достаточных доказательств обнаружить также и у Демокрита. К такому сопоставлению С.Я. Лурье побудили, вероятно, некоторые высказывания того же Галилея.
Получив понятие "неделимое" в рамках математического рассуждения, Галилей, однако же, показывает, что это понятие вполне работает также и в физике, более того, как мы помним, даже и математическое доказательство было предпринято им с целью найти средства для решения физической проблемы связности тел. "То, что я сказал о простых линиях, - пишет Галилей, относится также и к поверхностям твердых тел, если рассматривать их как состоящие из бесконечного множества атомов. Если мы разделим тело на конечное число частей, то, без сомнения, не сможем получить из них тела, которое занимало бы объем, превышающий первоначальный, без того, чтобы между частями не образовалось пустого пространства, то есть такого, которое не заполнено веществом данного тела; но если допустить предельное и крайнее разложение тела на лишенные величины и бесчисленные первичные составляющие, то можно представить себе такие составляющие растянутыми на огромное пространство путем включения не конечных пустых пространств, а только бесконечно многих пустот, лишенных величины. И таким образом допустимо, например, растянуть маленький золотой шарик на весьма большой объем, не допуская конечных пустот, - во всяком случае, если мы принимаем, что золото состоит из бесконечно многих неделимых".
Не удивительно, что понятие "неделимое", или "бесконечно малое", на протяжении многих десятилетий отвергалось большим числом математиков и вызывало множество споров у физиков. Ведь в сущности Галилей в приведенном выше отрывке узаконивает апорию Зенона, служившую для элеатов средством доказательства того, что актуально бесконечное множество вообще не может быть мыслимо без противоречия, превращая ее из орудия разрушения в орудие созидания, но не снимая при этом противоречия, а пользуясь им как инструментом позитивной науки. В самом деле, Галилей утверждает, что из лишенных величины элементов (т.е. элементов, строго говоря, бестелесных, ибо тело - пусть самое наименьшее - всегда имеет величину) можно составить как угодно большое тело при условии, что этих лишенных величины составляющих будет бесконечное множество. Таким образом, одно непонятное лишенную величины составляющую часть тела - Галилей хочет сделать инструментом познания с помощью другого непонятного - актуально существующего бесконечного числа, которого не принимала ни античная, ни средневековая математика. Последняя, правда, в лице некоторых своих теоретиков, как, например, Гроссетеста, признавала актуально бесконечное число, но оговаривала, что оно доступно лишь Богу, а человеческий разум оперировать этим понятием не в состоянии.
Как видно из рассуждений Галилея, понятие бесконечно малого вводится им одновременно с понятием бесконечно большого - эти два понятия взаимно предполагают друг друга, точно так же как это мы видели у Николая Кузанского.
"Неделимое", или бесконечно малое, Галилея очень похоже на "абсолютный минимум" Николая Кузанского, а галилеево "бесконечно большое" - на "абсолютный максимум". И в основе галилеевского построения лежит идея тождества этих противоположностей, в конечном счете восходящая к тождеству единого и бесконечного, составляющему центральный принцип учения Кузанца.
Что отождествление Галилеем "бесконечного" и "неделимого" восходит к совпадению "максимума" и "минимума" Николая Кузанского, нетрудно убедиться еще на одном примере. Опять-таки с помощью математического рассуждения Галилей пытается доказать тезис Кузанца о тождестве единого и бесконечного. Галилей считает само собой разумеющимся, что квадратов целых чисел должно быть столько же, сколько существует самих этих чисел, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень - свой квадрат. А между тем "всех чисел больше, чем квадратов, так как большая часть их не квадраты. Действительно, число квадратов непрерывно и в весьма большой пропорции убывает по мере того, как мы переходим к большим числам; так, из числа до ста квадратами являются десять, то есть одна десятая часть; до десяти тысяч квадратами будут лишь одна сотая часть; до одного миллиона - только одна тысячная часть. А в отношении бесконечного числа, если бы только мы могли постичь его, мы должны были бы сказать, что квадратов столько же, сколько всех чисел".
В результате этого рассуждения Галилей делает неожиданный вывод: "...продолжая деление и, умножая число частей в предположении приблизиться к бесконечности, мы на самом деле удаляемся от нее... Мы видели... что чем к большим числам мы переходим, тем реже попадаются в них квадраты и еще реже - кубы; отсюда ясно, что, переходя к большим числам, мы все более удаляемся от бесконечного числа; отсюда можно вывести заключение... что если какое-либо число должно являться бесконечностью, то этим числом должна быть единица; в самом деле, в ней мы находим условия и необходимые признаки, которым должно удовлетворять бесконечно большое число, поскольку она содержит в себе столько же квадратов, сколько кубов и сколько чисел вообще".
Это доказательство Галилея, где наиболее наглядно видна глубокая связь его со способом мышления Николая Кузанского, а именно с его диалектикой "совпадения противоположностей", опять-таки представляет собой парадокс. Единица в понимании античных математиков и философов не являлась числом, а рассматривалась как "начало числа", или "принцип числа"; она есть математический "представитель" того самого единого, которое, в конечном счете, непостижимо. Единица, или единое, порождает все числа при соединении с противоположным ему началом - беспредельным. Ни сама единица, ни беспредельное не суть числа, как поясняли пифагорейцы: первым числом у них является тройка (ибо двойка - это тоже еще не число, а символ беспредельного).
У Галилея, как и у Николая Кузанского, единое и беспредельное оказываются тождественными, и единица, таким образом, есть бесконечное. При этом Галилей, подобно Кузанцу, мыслит бесконечность как актуальную. Сам пример, приведенный Галилеем, представляющий собой утверждение о том, что множество квадратов равномощно множеству всех натуральных чисел, предвосхищает положения теории множеств Георга Кантора.
Галилей прекрасно понимает, что понятие актуальной бесконечности не может быть получено на том пути, на котором мы приходим к понятию бесконечности потенциальной; то действие, которое мы осуществляем, деля, допустим, отрезок пополам, затем на четыре части, на восемь частей и т.д. до бесконечности, никогда не приведет нас к получению актуально бесконечного множества, ибо "такой процесс постепенного деления конечных величин необходимо было бы продолжать вечно; достигнуть же таким путем приближения к неделимым в конечный период времени совершенно невозможно".
Конечная величина, подчеркивает Галилей, не может никогда превратиться в актуально бесконечную путем постепенного ее увеличения: как замечает Галилей, идя этим путем, мы удаляемся от актуальной бесконечности. Между конечным и актуально бесконечным - непереходимый рубеж; как выражается Галилей, можно обнаружить своеобразное "противодействие природы, которое встречает конечная величина при переходе в бесконечность". Галилей приводит и пример такого "противодействия природы": если мы будем увеличивать радиус круга, то длина окружности будет также увеличиваться, однако это будет происходить только до тех пор, пока радиус будет оставаться как угодно большой, но конечной величиной. При переходе к актуально бесконечному радиусу (когда круг становится "большим из всех возможных") круг исчезает и на его месте появляется бесконечная прямая. Ясно, продолжает Галилей, что "не может быть бесконечного круга; отсюда как следствие вытекает, что не может быть ни бесконечного шара, ни другого бесконечного тела, ни бесконечной поверхности". Галилеев пример, как видим, заимствован у Николая Кузанского и должен пояснить то же, что пояснял и Кузанец: принципиальное различие между потенциальной бесконечностью, которая всегда связана с конечным (хотя и как угодно большим) числом, телом, временем, пространством и т.д., и бесконечностью актуальной, которая предполагает переход в иной род, изменение сущности, а не количества.