по которому и вычислил сам величину p до 4-х десятичных знаков. Валлис дал другое замечательное произведение, а Грегори, и, независимо от него Лейбниц открыли ряд:
Оригинальный ряд, откуда получается предыдущий как частный случай, есть arctg где а есть тангенс центрального угла в круге, которого радиус равен единице. На основании этого ряда легко составить и такой:
где а, b, с.... суть тангенсы углов, которых сумма равна 45°. Выбрав а, b, с.... малыми, лёгкими для обработки и удовлетворяющими поставленному условию углами, получаются вообще весьма удобные для вычисления ряды. По этому способу лондонский проф. Мехин в 1706 г. вычислил p с 100 десятичными знаками. Он положил
и , т. е. употребил ряд:
До сих пор это лучшая и удобнейшая формула для приближенного вычисления p. Тем не менее открывают и новые ряды, так лорд Брункер представил p в виде непрерывной дроби:
Много строк, бесконечных произведений и непрерывных дробей, дающих p, открыты знаменитым Эйлером, например:
По разным подобным формулам современные математики вычисляют величину p с гораздо большей степенью приближения, чем прежние. Дазе нашёл 200 цифр, Рихтер 500, а Шанкс даже 700. Однако, такое точное вычисление не имеет ни теоретического интереса ни практического значения. Вообразим шар, которого радиус равен расстоянию Сиpиуca от земли (около 134 биллионов километров) и наполненный микробами так тесно, что в каждом кубическом миллиметре их помещается целый биллион (1012). Вообразим далее, что все эти микробы выровнены на прямой, и расстояние между каждыми двумя соседними равно расстоянию Сириуса от земли. Примем теперь эту прямую за диаметр круга и вычислим длину окружности этого круга при помощи (с 100 десятичными знаками. Полученное число даст длину этой окружности с ошибкою против истины лишь в одну миллионную миллиметра. Упомянем ещё об одном любопытном приёме для приближённого определения p, основанном на совершенно иных началах. Если начертить на полу систему равноотстоящих параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, образующих равные квадратики, и бросать на пол иглу, длина которой равна стороне каждого квадратика, то, считая случаи, когда упавшая игла поместится внутри какогонибудь квадратика, не пересекая его сторон, получим, что вероятность этого числа, т. е. отношение числа таких попаданий к общему числу бросаний, равна p-3. Проф. Вольф в Цюрихе, предложивший этот способ, бросал иглу 10000 раз и получил p с тремя верными десятичными знаками. В заключение перечислим учёных, которым наука обязана объяснением невозможности К. круга. Ламберт в 1761 г. доказал, что p не есть рациональное число и не есть корень из рационального числа, т. е. что ни p, ни p2 не могут быть представлены простыми дробями, как бы ни были велики их числители и знаменатели. Лежандр первый высказал мысль, что p должно быть число трансцендентное, но только Эрмит, в сочинении «Sur la Fonction Exponentielle» («Comptes Rendus», т. 77, 1873) показал, что основание Неперовых логарифмов, т. е. число е, есть трансцендентное, а Линдеман в 1882 г. («Mathematische Annalen», т. XX), на основании соображений, подобных соображениям Эрмита, показал, что и p есть число трансцендентное. Теорема Линдемана заключается в том, что если х есть корень алгебраического уравнения, которого коэффициенты действительные или мнимые числа, то еx не может быть числом алгебраическим; а так как, то следовательно , а потому и p не может быть числом алгебраическим.
Литература. Montucla, «Histoire des recherches sur la quadrature du cercle» (Пар., 1754); Rudio, «Vier Abhandlungen ueber die Kreismessung» (Лпц., 1892); Hurwitz, «Beweis der Transcendenz der Zahle e und p». На русском языке: Марков, «Доказательство трансцендентности чисел е и p» (СПб., 1883) и перевод статьи Вейерштрасса о невозможности К. круга, в «Известиях Физ. Мат. Общества при казанском унив.» (1894, № 3).
В. Витковский.
Квази
Quasi (как бы, почти) — слово, приставляемое к музыкальному термину, которому хотят дать приблизительное сходство с другим термином; напр. andante quasi allegretto обозначает, что andante должно иметь движение почти одинаковое с allegretto. Quasi una fantasia — сочинение, написанное под влиянием формы фантазии или почти как фантазия. Quasiaccorde — фиктивные, кажущиеся аккорды или случайные гармонии, образуемые проходящими, вспомогательными нотами. Quasisynkope — нота на слабом времени с акцентом и её повторение на сильном, но без соединяющей лиги.
Квакеры
Квакеры (англ. quackers, quakers, т. е. «дрыгуны») — секта, возникшая в Англии в XVII ст. Название это было дано им в насмешку, в виду судорожных движений и припадков, в которые они впадали, когда «нисходил на них Дух Божий». Сами последователи этой секты называли себя «христианским обществом друзей» (на основании слов, употреблённых апост. Иоанном, Послан. III, 15). Основателем её был Георг Фокс, родившийся в 1624 г. Углубившись в чтение Священного Писания, он, после непродолжительного периода искания и сомнения, достиг положительного убеждения, что истина находится не в науке, не в католицизме или англиканстве и других сектах, а в каждом человеческом сердце. Он называет её внутренним светом, гласом Божиим. Этот голос не возвещает новых истин веры — они уже высказаны в Св. Писании, — но служит свидетельством вечного присутствия Христа в человеке; он указывает добро, отдаляет от греха и никогда не противоречит ясному смыслу Св. Писания и разуму. Фокс немедленно принялся распространять это учение, впадая в мистические восторги и предоставляя другим логическое развитие учения из высказанного им начала. Его били, бросали в него камнями, сажали в тюрьму, но, не смотря на все преследования, число его последователей быстро увеличивалось. Когда Кромвель распустил парламент (1653) и рассеялась надежда «святых» на скорое осуществление их мечты о царстве Божием на земле, горячие индепенденты приняли учение о новых, непрерывных откровениях Божиих; благодаря этому, квакерство быстро распространилось по всей Англии; ревностные сторонники «внутреннего света» отправлялись, для проповеди, даже в отдалённые страны. Фокс сам посетил Америку и указал на неё своим последователям; Вильям Пенн, которому принадлежат большие заслуги во внутренней организации квакерских общин, купил у английского правительства земли на Делаваре и основал там квакерскую колонию. В наше время общины К. особенно распространены в Англии и Сев. Американских Соед. Шт.; кроме того, они существуют в Голландии, Германии (близ Пирмонта) и в торговых городах Норвегии. Так как К. ни в каком случае не приносят присяги и упорно отказываются от обязанностей военной службы, то везде, где они существуют, их слово признается равносильным присяге, а вместо военной службы они платят известные подати. Систематическую разработку учению К. дал Роберт Барклэ, в своих сочинениях: «Саtechismus et fidel confessio» (179) и «Theologiae vere christianae apologia». Не мало сделал для этого и Пенн. Признавая великое значение «внутреннего голоса» и его согласие с Св. Писаниям, К. не отрицают и земной мудрости, «ибо Христос пришёл не угасить, а очистить языческое знание»; в Пифагоре, Платоне, Плотине горел «внутренний свет». Всякое гонение за веру преступно. Проповедь должна быть свободным выражением вдохновения, которое может нисходить на каждого верующего; «друзья» отрицают, поэтому, необходимость духовенства и осуждают сбор десятины и вообще всякое вознаграждение за толкование и распространение Св. Писания. В местах, где К. собираются для совещаний и общей молитвы (meetinghouses), нет ни алтарей, ни образов; пение и музыка изгнаны. Хотя проповедовать может каждый член общины, не исключая и женщин, но на самом деле правом этим пользуются только люди, заслужившие общее уважение и доверие. В прежних собраниях вздохи, шедшие crescendo, стоны и кривляния были обыкновенным явлением; теперь в собраниях царствует глубокая тишина, прерываемая только голосом проповедников; иногда, если ни на кого из присутствующих не сходит вдохновение, проповеди не бывает. К. не допускают никаких обрядов и не признают таинств. Они не отрицают совершенно крещения водою, но считают его излишним. Браки совершаются через простое обещание сожития и верности, в присутствии старшин. Погребение происходит без всяких церемоний, причём родственники умершего не надевают траура. Вместо памятников и эпитафий, в назидание следующим поколениям составляются и печатаются биографии тех людей, добродетели которых заслужили общее признание. Устройство квакерских общин основано на чисто демократических началах. Важные частные и общественные дела решаются избранными представителями. Подчиняясь законам государств, к которым они принадлежат по рождению, К. не участвуют, однако, в народных торжествах по случаю побед, осуждают торговлю оружием и порохом, агитируют против смертной казни и против дуэли. Во время войны Северо-Америк. Штатов за освобождение многие К. взялись за оружие и образовали отдельную общину «свободных и воинственных (free and fighting) друзей». Признавая совершенное равенство и братство между людьми, К. в своих сношениях с властями и знатными лицами не употребляют выражений, принятых обычаем, а означают только должность или сан, всех называя: ты. Они верят в постоянное улучшение и развитие духовной природы человека. С XVIII века К. начинают употреблять все усилия для уничтожения торговли неграми и рабства. В 1754 г. «друзья» решили исключить из своей среды всех, имевших рабов. Между К. нет нищих: каждый здоровый член должен работать; для больных и дряхлых существуют больницы и странноприимные дома. От членов, совершивших бесчестный поступок, община отрекается. Брачные обязанности соблюдаются строго. В ребёнке родители уже уважают будущего человека и основывают на этом свою систему воспитания. До конца XVIII в. частная жизнь К. была очень однообразна и бедна наслаждениями, потому что из неё изгонялись искусства. Теперь молодые К. участвуют в общественных увеселениях, занимаются изящными искусствами, литературой и т. п.; зато число членов, выходящих совсем из общины или образующих новые подразделения секты, увеличивается.