Везде, где есть стационарный процесс - например, изменение температуры или количества осадков в течение года - обычно можно найти подходящее статистическое распределение. Эти наблюдения о способности абстрактной теории давать точные и достоверные предсказания настолько примечательны, что неудивительно, что последующие поколения были склонны преувеличивать масштабы этих мощных идей. К началу двадцатого века ценность теории вероятностей была хорошо известна в понимании азартных игр и в анализе данных, которые генерируются стационарным процессом. Достижения великих классических статистиков той эпохи обеспечили инструменты, полезные во многих областях как социальных, так и естественных наук. Статистики заняли прочное место в научном сообществе. Вероятностный поворот заставил современных экономистов и других социальных ученых твердо идти по вероятностному пути.

Проблема точек

Вопрос, который шевалье де Мере задал Паскалю и который привел к современной теории вероятности, был "проблемой очков". Предположим, что азартная игра в салоне шевалье прервана. Каково справедливое распределение ставок между игроками, учитывая результаты незавершенной игры? Например, два игрока вносят в банк 100 луидоров и договариваются, что победитель наибольшей из семи партий зачерпнет пул. Герцог из A выиграл три партии, а маркиз из B - одну. Герцога вызывают к королю, и вечерние развлечения внезапно прекращаются.

До Паскаля общепринятое решение этой проблемы отдавало три четверти банка герцогу А, признавая, что он выиграл три из четырех фактически сыгранных партий. Это решение было разработано в конце XV века итальянским математиком Лукой Пачоли, которого многие считают одним из изобретателей бухгалтерского учета, и на первый взгляд кажется правдоподобным и справедливым. Но шевалье не был убежден, что Пачоли пришел к правильному ответу, и два великих математика подтвердили его сомнения. Если бы игра продолжалась, маркизу для успеха нужно было бы выиграть все три оставшиеся партии. Если вероятность того, что любой из игроков выиграет каждую партию, равна половине, то вероятность того, что маркизу удастся выиграть все три партии, равна одной восьмой. Отсюда следует, что вероятность того, что Герцог выиграет пул, равна семи восьмым. Поэтому, рассуждали они, банк должен быть разделен в этих пропорциях.

Решение Ферма-Паскаля вводит три понятия, которые являются фундаментальными для всей последующей работы. Существует математическое понятие вероятности - шансы на победу в любой конкретной игре. Существует метод расчета составной вероятности - вероятность выигрыша трех последовательных игр получается из вероятности одного выигрыша, наполовину увеличенной до силы трех. А решение вводит идею ожидаемой ценности - суммы, которую каждый игрок мог бы ожидать выиграть, если бы события вечера повторялись много раз. И сегодня мы можем запрограммировать компьютер на моделирование этого сценария многократного повторения и проверить, что рассчитанное ожидаемое значение действительно описывает то, что произошло бы, если бы события вечера повторялись снова и снова. (А в салоне шевалье, вероятно, так и было).

Решение проблемы точек было ранним свидетельством силы вероятностных рассуждений. Противоположный интуитивный ответ Паскаля становится убедительным, если понять его мысль. Важно предвидеть будущее, а не анализировать прошлое. Если бы герцог и маркиз планировали сыграть сто партий, то преимущество герцога три к одному на ранней стадии вечера мало что значило бы. Но если бы было сыграно только пять партий, маркиз, конечно, проиграл бы - результат пятой партии не имел бы значения, и она могла бы даже не быть сыграна.

Заплатить за Байеса

Последний шаг в развитии новой теории вероятности был достигнут маловероятным героем - безвестным сельским пресвитерианским священником восемнадцатого века в Англии. Преподобный Томас Байес случайно похоронен в том месте, где сейчас находится центр финансового района Лондона. Среди своих бумаг он оставил теорему, которая сегодня является одной из самых распространенных идей в статистике. Возможно, Байес и был неизвестен при жизни, но его имя известно сегодня во всем мире: в его честь названы отрасли статистики и экономики. Термин "байесовский", который описывает не только статистическую технику, но и школу мысли, является интеллектуальным наследием одного человека, работавшего в сельской местности Кента.

Теорема Байеса позволяет вычислять условные вероятности : какова вероятность того, что произойдет А, учитывая, что произошло В? Хотя Паскаль и Фермат не достигли общности анализа кентского священника, проблема очков шевалье - это проблема условной вероятности. Трудно представить себе обстановку и компанию, менее благоприятную для преподобного Байеса, чем та, с которой он столкнулся бы в салоне шевалье де Мере. Но давайте дадим волю воображению и поместим его туда, ведя счет на "байесовском циферблате" над элегантной каминной полкой. На циферблате часов находится указатель, который регистрирует вероятность того, что каждый выиграет банк, и который может колебаться от полной уверенности в нулевой вероятности в одной крайности до полной уверенности в 100% вероятности в другой. Так как игра честная, отметка изначально установлена посередине на уровне 50%. Когда герцог выиграл первую партию, циферблат качнулся в пользу герцога - примерно до 67%, поскольку священнослужитель поспешно произвел расчеты, требуемые его теоремой. А когда маркиз выиграл вторую партию, циферблат вернулся в исходное положение 50 на 50. Но затем герцог выиграл третью и четвертую партии, и циферблат снова сдвинулся, так что, когда король прервал вечер, показания зафиксировали 87,5% в пользу герцога.

Байесовский циферблат - это визуальное представление того, что известно как байесовские рассуждения. Мы имеем дело с неопределенностью, приписывая "предварительные вероятности" неопределенным событиям. Поскольку шансы за игровым столом Шевалье были справедливыми, предварительная вероятность того, что каждый игрок выиграет, равнялась 50%. Но затем игроки постоянно обновляют свои предварительные вероятности в свете новой информации. Первый ход циферблата фиксирует вероятность того, что А выиграет матч, учитывая, что он выиграл первую партию, а затем корректируется на вероятность того, что он выиграет в целом при условии, что А выиграл первую партию, а Б выиграл вторую , и так далее по ходу вечера. .

Зал

Задача Монти Холла - это знаменитая иллюстрация силы теоремы Байеса, в основе которой лежит американская викторина 1960-х годов "Давайте заключим сделку", в которой участники разыгрывали призы, спрятанные за занавесками, и названная в честь ее ведущего. Изначально загадка была предложена американским статистиком Стивеном Селвином и впоследствии стала предметом обширной переписки и литературы. Участнику показывают три коробки, в одну из которых Монти положил ключи от автомобиля, который участник выиграет, если выберет эту коробку. Две другие коробки пусты. После того как участник сделает свой выбор, Монти открывает одну из других коробок, которая пуста. Он предлагает выбор. Участник может остаться с первоначальным выбором или перейти в другую коробку.

Интуитивный ответ заключается в том, что изначально ключи с равной вероятностью находились в каждом из трех ящиков, а теперь, когда на выбор осталось только два ящика, они с равной вероятностью окажутся в любом из оставшихся. Поэтому нет причин для переключения. Но необученное суждение ошибочно. Монти знает, в каком ящике находятся ключи от машины. Если ключи находятся в том ящике, который вы выбрали изначально - вероятность один к трем - не имеет значения, какой из остальных ящиков он откроет. Но если вы сделали неправильный выбор - вероятность два из трех - Монти должен быть осторожен и выбрать единственный оставшийся ящик, который пуст, и ключи будут в том ящике, который он решит не открывать. Поэтому более вероятно (с вероятностью два из трех), что ключи находятся в этой неоткрытой коробке, чем в коробке, которую вы выбрали (с вероятностью один из трех). Монти неосознанно дал вам важную информацию, которая говорит вам, что вероятность того, что ключи находятся в другом ящике, составляет две трети, и поэтому вы должны поменяться.

Если вам трудно в это поверить - а почти все верят, - то представьте, что коробок не три, а сто. Как только вы сделали свой выбор, Монти открывает девяносто восемь коробок, и все они пусты. Все еще возможно, что ключи от машины находятся в выбранной вами коробке. Но гораздо более вероятно, что они находятся в одной оставшейся коробке, которую Монти не открыл. А если вы все еще не убеждены, есть несколько сайтов, на которых вы можете сыграть в игру Монти Холла против компьютера. Вскоре вы поймете, что лучше поменяться. Проблема очков и анализ шоу Монти Холла являются иллюстрациями ценности вероятностной математики. Каждая из них предлагает совершенно убедительные аргументы в пользу неожиданных результатов.

Принцип безразличия

Решения проблемы очков и игры Монти Холла опираются на то, что стало известно как принцип безразличия - если у нас нет причин считать одну вещь более вероятной, чем другую, мы можем приписать каждой из них равные вероятности. Мы предположили, что герцог и маркиз с равной вероятностью выиграют каждую из оставшихся партий, и, возможно, для этого нам пригодится частотное распределение результатов аналогичных партий в прошлом. В задаче Монти Холла мы решили, что если есть три одинаковых ящика, то вероятность того, что ключи находятся в любом из них, равна одной трети.