Глава 10. Принятие рациональных решений.

Вероятность и правило Байеса

Когда Герман фон Гельмгольц был маленьким ребенком в Пруссии начала XIX века, он гулял с матерью по своему родному городу Потсдаму. Проходя мимо стойки с маленькими куклами, выстроенными в ряд, он попросил ее протянуть руку и взять одну для него. Однако его мать не согласилась, но не из-за пренебрежения или недисциплинированности. Скорее, она не могла дотянуться до кукол, потому что их не было. То, что переживал юный Гельмгольц, было иллюзией; "куклы", которых он видел рядом с собой, на самом деле были людьми, находящимися далеко, на вершине городской церковной башни. "Эти обстоятельства запечатлелись в моей памяти, - писал позже Гельмгольц, - потому что именно благодаря этой ошибке я научился понимать закон ракурса в перспективе".

Гельмгольц стал выдающимся врачом, физиологом и физиком. Одним из его величайших вкладов стала разработка офтальмоскопа - инструмента для осмотра глаза, который используется врачами и по сей день. Он также углубил понимание цветового зрения, разработав "трихроматическую теорию" - идею о том, что три различных типа клеток в глазу реагируют на разные длины волн света, - благодаря которой он пришел к выводу, что у пациентов с дальтонизмом должен отсутствовать один из этих типов клеток. За пределами глаз Гельмгольц опубликовал том об акустике - восприятии тонов, о том, как звук проходит через ухо и как он возбуждает нервы. Обратившись со свойственной ему вдумчивостью и точностью к изучению органов чувств, Гельмгольц неоднократно освещал физические механизмы, с помощью которых информация из окружающего мира поступает в сознание.

Но более глубокий вопрос о том, как разум использует эту информацию, всегда не давал ему покоя. Унаследовав от отца интерес к философии, Гельмгольц сформировал свое мировоззрение под влиянием работ немецкого философа Иммануила Канта. В философии Канта "Ding an sich", или "вещь в себе", относится к реальным объектам в мире - объектам, которые нельзя ощутить непосредственно, а только через впечатления, которые они производят на наши органы чувств. Но если два разных объекта в мире - например, близкая кукла или далекий человек - могут создавать одинаковую картину света, попадающего в глаз, как разум решает, какой из них правильно воспринимать? Как, хотел узнать Гельмгольц, может формироваться восприятие из двусмысленных или неопределенных сигналов?

Размышляя над этим вопросом, Гельмгольц пришел к выводу, что между моментом поступления сенсорной информации и моментом ее превращения в осознанное переживание должно пройти большое количество времени. Результат этой обработки, писал он, "эквивалентен заключению в той мере, в какой наблюдаемое действие на наши органы чувств позволяет нам сформировать представление о возможной причине этого действия". Эта идея стала известна как "бессознательное умозаключение", поскольку об объектах в мире можно судить по их воздействию на органы чувств. Вдохновляясь Кантом, Гельмгольц предложил, чтобы это умозаключение происходило путем интерпретации текущего сенсорного сигнала в свете ранее существовавших знаний о мире. В частности, подобно тому, как ошибка с куклами научила его видеть перспективу, Гельмгольц считал, что опыт прошлого может влиять на восприятие в настоящем1.

Несмотря на то, что Гельмгольц был одним из самых математически подкованных физиологов всех времен, он так и не дал математического определения бессознательному умозаключению. Его идеи на эту тему, хотя и были основательными, оставались качественными и в основном умозрительными. Они также были отвергнуты. Ученые того времени считали, что понятие "бессознательное умозаключение" является противоречием в терминах. Умозаключение, или принятие решений, по умолчанию является сознательным процессом; оно просто не может происходить на поверхности.

Но спустя почти 100 лет после смерти Гельмгольца психологи, использующие математику, разработанную более чем за 50 лет до его рождения, подтвердили свою правоту. Бессознательное умозаключение, облаченное в уравнения вероятности, стало воплощением основных механизмов восприятия, принятия решений и действий человека.

* * *

Нередко математические темы - даже самые абстрактные - берут свое начало в очень практичных профессиях. Инструменты геометрии возникли благодаря строительству и землеустройству; древние астрономы способствовали тому, что понятие нуля стало общепринятым; а область вероятности родилась из азартных игр.

Джироламо Кардано был итальянским врачом, но, в отличие от многих образованных людей XVI века, он с удовольствием занимался самыми разными предметами. По его собственным подсчетам, он написал более сотни книг - большинство из них утрачены временем - с такими разными названиями, как "О семи планетах", "О бессмертии души" и "О моче". По поводу одной из своих книг, которая останется для потомков, Кардано писал: "Книгу "Об азартных играх" я тоже написал; почему бы человеку, который является азартным игроком, копателем и в то же время автором, не написать книгу об азартных играх?". И Кардано был азартным игроком; книга больше похожа на руководство по азартным играм, основанное на личном опыте, чем на учебник. Тем не менее для своего времени это было самое подробное изложение правил вероятности.

Кардано посвящает большую часть своей математики бросанию игральных костей. Он быстро признает, что вероятность выпадения любой из шести сторон кости не меньше, чем у других, но на практике они не всегда будут выпадать одинаково: "При шести бросках каждая точка должна выпасть один раз; но поскольку некоторые из них повторяются, из этого следует, что другие не выпадут". Рассмотрев примеры того, чего можно ожидать при бросании одной, двух или трех костей, он заключает: "Есть одно общее правило, а именно: мы должны рассмотреть всю схему, число тех бросков, которые представляют, сколькими способами может произойти благоприятный результат, и сравнить это число с остальной частью схемы". Другими словами, вероятность того, что произойдет определенный результат, можно рассчитать как количество исходов, которые приведут к этому результату, деленное на общее количество возможных исходов.

Возьмем, к примеру, бросание двух игральных костей. Если при бросании одной кости есть шесть возможных исходов, то при бросании двух костей есть 6 x 6 = 36 возможных исходов. Если мы скажем, что наш желаемый результат состоит в том, чтобы после бросания двух костей их грани в сумме равнялись трем, то существует два возможных исхода, которые приведут к этому результату: 1) первая кость покажет единицу, а вторая - два; или 2) первая кость покажет два, а вторая - единицу. Таким образом, вероятность того, что мы получим желаемый результат, равна 2/36 или 1/18.

По словам Кардано, "азартные игры - это не что иное, как мошенничество, числа и удача". Поэтому, помимо обсуждения чисел, он постарался посвятить более двух глав теме мошенничества. В основном речь шла о том, как заметить мошенника: "Кость может быть нечестной либо потому, что она закруглена, либо потому, что она слишком узкая (недостаток, который хорошо виден)". В книге также давались советы, как справиться с шулером, если вы его заметили: "Если вы подозреваете мошенничество, играйте на маленькие ставки, приглашайте зрителей". Хотя стоит отметить, что автобиография Кардано предлагает совсем другой взгляд на реакцию. В главе под названием "Опасности, несчастные случаи и постоянные предательства" он вспоминает случай, когда заметил, что карты человека помечены, и "я порывисто, хотя и неглубоко, ударил его по лицу своим понтиардом".

Важно отметить, что Кардано ясно дал понять, что большинство его расчетов вероятностей справедливы только в том случае, если используемые кости были честными, а не если он играл "в доме профессионального шулера" (как он описал инцидент выше). В этом случае вероятности нужно было бы "сделать настолько больше или меньше, насколько это соответствует отклонению от истинного равенства".

Учет различных вероятностей при различных условиях - например, если игрок жульничает - впоследствии стал известен как условная вероятность. Условную вероятность можно представить как простое утверждение "если - то". Если вам известно, что X истинно, то какова вероятность того, что Y тоже истинно? Например, учитывая, что кубик честный, вероятность того, что при броске выпадет двойка, равна 1/6. В противном случае вероятность будет равна, скажем, 1/3, если вы играете с шулером, который изменил кубик так, чтобы он предпочитал двойки. Таким образом, вероятность события зависит от обстоятельств, которыми оно обусловлено.

Одной из тем, которая ставила математиков в тупик на протяжении столетий после Кардано, был вопрос об обратной вероятности. Стандартная вероятность может сказать, как разные кости создают разные шансы, но цель обратной вероятности заключалась в том, чтобы пойти другим путем - обратить рассуждения и найти причину, стоящую за следствиями.2 Например, если Кардано не знал, участвует ли он в игре с шулером или нет, он мог наблюдать за бросками кости, чтобы попытаться определить, была ли она предвзятой. Если выпадало слишком много двоек, он мог заподозрить неладное (хотя, надеюсь, держал бы свою пинаду при себе).

Французский математик Пьер-Симон Лаплас работал над проблемой обратной вероятности с перерывами на протяжении 40 лет своей карьеры. Кульминация наступила в 1812 году, когда была опубликована "Аналитическая теория вероятностей". Здесь Лаплас демонстрирует простое правило, которое впоследствии станет одним из самых важных и влиятельных открытий в математике