Глава 1. Сферические коровы

Что может предложить математика

Паук, плетущий паутину, Cyclosa octotuberculata обитает в нескольких местах в Японии и ее окрестностях. Размером с ноготь и покрытый маскировочными пятнами черного, белого и коричневого цветов, этот арахнид - хитроумный хищник. Сидя в центре своей искусно построенной паутины, он ждет, когда почувствует колебания нитей паутины, вызванные сопротивляющейся добычей. Как только паук чувствует движение, он устремляется в направлении сигнала, готовый сожрать свою добычу.

Иногда добыча чаще встречается в одном месте сети, чем в других. Умные хищники умеют отслеживать такие закономерности и использовать их в своих целях. Некоторые птицы, например, запоминают, где в последнее время было много пищи, и возвращаются в эти места в более позднее время. Cyclosa octotuberculata делает нечто похожее, но не идентичное. Вместо того чтобы запоминать удачные места - то есть не хранить их в памяти и не позволять им влиять на дальнейшее внимание - паук буквально вплетает эту информацию в свою паутину. В частности, он использует свои ноги, чтобы перетягивать шелковые нити, на которых недавно была обнаружена добыча, делая их более тугими. Натянутые нити более чувствительны к вибрациям, поэтому на них легче обнаружить будущую добычу.

Внося такие изменения в свою паутину, Cyclosa octotuberculata перекладывает часть бремени познания на окружающую среду. Он переносит свои текущие знания и память в компактную, но осмысленную физическую форму, оставляя в мире след, которым может руководствоваться в своих будущих действиях. Взаимодействующая система паука и его паутины умнее, чем паук мог бы надеяться быть сам по себе. Такая передача интеллекта окружающей среде известна как "расширенное познание".

Математика - это форма расширенного познания.

Когда ученый, математик или инженер записывает уравнение, он расширяет свои умственные способности. Они переносят свои знания о сложных отношениях на символы на странице. Записывая эти символы, они оставляют след своих размышлений для других и для себя в будущем. Ученые-когнитивисты предполагают, что пауки и другие мелкие животные полагаются на расширенное познание, потому что их мозг слишком ограничен для выполнения всех сложных умственных задач, необходимых для процветания в их среде. Мы ничем не отличаемся от них. Без таких инструментов, как математика, наша способность эффективно мыслить и действовать в этом мире сильно ограничена.

Математика делает нас лучше теми же способами, что и письменный язык. Но математика выходит за рамки повседневного языка, потому что это язык, который может выполнять реальную работу. Механика математики - правила перестановки, замены и расширения символов - не произвольна. Это систематический способ перенести процесс мышления на бумагу или в машину. Альфред Уайтхед, почитаемый математик XX века, с работами которого мы познакомимся в главе 3, перефразировал следующие слова: "Конечнаяцель математики - устранить всякую необходимость в разумном мышлении

Учитывая эту полезную особенность математики, в некоторых научных дисциплинах, в том числе в физике, сложилась этика, основанная на строгом количественном мышлении. Ученые в этих областях использовали возможности математики на протяжении веков. Они знают, что математика - единственный язык, достаточно точный и эффективный для описания мира природы. Они знают, что специализированная нотация уравнений умело сжимает информацию, делая уравнение похожим на картину: оно может стоить тысячи слов. Они также знают, что математика помогает ученым быть честными. При общении с помощью математического формализма предположения обнажаются, а двусмысленностям негде спрятаться. Таким образом, уравнения заставляют мыслить ясно и связно. Как писал Бертран Рассел (коллега Уайтхеда, с которым мы также познакомимся в главе 3): "Все расплывчато до такой степени, что вы не осознаете этого, пока не попытаетесь сделать его точным".

Последний урок, который усвоили ученые-количественники, заключается в том, что красота математики заключается в ее способности быть одновременно конкретной и универсальной. Уравнение может точно описать, как будет качаться маятник барометрических часов, установленных на лестнице для министров в Букингемском дворце; то же самое уравнение описывает электрические цепи, отвечающие за вещание радиостанций по всему миру. Когда между механизмами, лежащими в их основе, существует аналогия, уравнения служат воплощением этой аналогии. Как невидимая нить, связывающая воедино разрозненные темы, математика служит средством, с помощью которого достижения в одной области могут оказывать удивительное и непропорциональное влияние на другие, далеко отстоящие друг от друга области.

Биология - в том числе изучение мозга - не так быстро приняла математику, как некоторые другие области. Определенная часть биологов, по причинам, как хорошим, так и плохим, исторически смотрела на математику с некоторым скептицизмом. По их мнению, математика одновременно и слишком сложна, и слишком проста, чтобы быть полезной.

Некоторые биологи считают математику слишком сложной, потому что, будучи обученными практической работе по проведению лабораторных экспериментов, а не абстрактным деталям математических понятий, они воспринимают длинные уравнения как бессмысленные каракули на странице. Не видя в символах функции, они предпочитают обходиться без них. Как писал биолог Юрий Лазебник в 2002 году, призывая больше математики в своей области: "В биологии мы используем несколько аргументов, чтобы убедить себя, что проблемы, требующие вычислений, можно решить с помощью арифметики, если хорошенько постараться и провести еще одну серию экспериментов".

Тем не менее, математика также считается слишком простой, чтобы отразить все богатство биологических явлений. Старая шутка среди физиков подчеркивает порой абсурдный уровень упрощения, которого могут требовать математические подходы. Анекдот начинается с того, что фермер борется с проблемой производства молока. Перепробовав все возможные способы, чтобы заставить своих любимых коров давать больше, он решает обратиться за помощью к физику из местного университета. Физик внимательно выслушивает проблему и возвращается в свой кабинет, чтобы подумать. Поразмыслив, он возвращается к фермеру и говорит: "Я нашел решение. Во-первых, мы должны представить сферическую корову в вакууме...

Упрощение проблемы - это то, что открывает ее для математического анализа, поэтому припереводе из реального мира в уравнениянеизбежно теряются некоторые биологические детали. В результате тех, кто использует математику, часто порицают за то, что они слишком мало интересуются этими деталями. В своей книгеСоветы молодому исследователю", вышедшей в 1897 годуСантьяго Рамон-и-Кахал (отец современной нейронауки, чьи работы рассматриваются в главе 9) писал о таких теоретиках, избегающих реальности, в главе под названием "Болезни воли". Он определил их симптомы как "способность к изложению, творческое и беспокойное воображение, отвращение к лаборатории и неукротимая неприязнь к конкретной науке и кажущимся несущественными данным". Кахаль также сетовал на то, что теоретики предпочитают красоту фактам. Биологи изучают живые существа, которые изобилуют специфическими чертами и нюансами, являющимися исключениями из любого правила. Математики, движимые простотой, элегантностью и необходимостью сделать вещи управляемыми, подавляют это изобилие, когда сводят его к уравнениям.

Чрезмерное упрощение и одержимость эстетикой - это законные ловушки, которых следует избегать при применении математики в реальном мире. Но в то же время богатство и сложность биологии - это именно то, почему ей нужна математика.

Рассмотрим простой биологический вопрос. В лесу есть два вида животных: кролики и лисы. Лисы едят кроликов, а кролики - траву. Если вначале в лесу будет определенное количество лис и определенное количество кроликов, что произойдет с этими двумя популяциями?

Возможно, лисы свирепо загрызут кроликов, доведя их до полного исчезновения. Но тогда лисы, исчерпав свой источник пищи, сами начнут голодать и вымрут. В результате мы получим довольно пустой лес.другой стороны, может быть, популяция лис не такая ужпрожорливая. Возможно, они сокращают популяцию кроликов почти до нуля, но не совсем. Популяция лис все равно падает, поскольку каждая особь пытается найти оставшихся кроликов. Но затем, когда большая часть лис исчезла, популяция кроликов может восстановиться. Конечно, теперь пища для лис снова в изобилии, и, если их популяция останется в достаточном количестве, они тоже могут возродиться.

Когда нужно знать, что в итоге получится в лесу, полагаться на интуицию не стоит. Попытка "додумать" этот сценарий, как бы он ни был прост, с помощью одних лишь слов и историй недостаточна. Чтобы добиться прогресса, мы должны точно определить наши термины и точно указать их взаимосвязь - а это значит, что мы занимаемся математикой.

На самом деле математическая модель взаимодействия хищника и жертвы, которая может нам помочь, известна как модель Лотки-Вольтерры и была разработана в 1920-х годах. Модель Лотки-Вольтерры состоит из двух уравнений: одно описывает рост популяции жертвы в терминах численности жертвы и хищников, а другое - рост популяции хищников в терминах численности хищников и жертвы. Используя теорию динамических систем - набор математических инструментов, изначально созданных для описания взаимодействия небесных тел, - эти уравнения могут сказать нам, вымрут ли в конце концов лисы или кролики, или же они будут продолжать танцевать вместе вечно. Таким образом, использование математики помогает нам лучше понять биологию. Без нее мы, к сожалению, ограничены нашими врожденными когнитивными талантами. Как писал Лазебник: "Понимание [сложной] системы без формальных аналитических инструментов требует гениев, которые так редки даже за пределами биологии".