А в одном пункте теория множеств даже ушла вперед: ведь ее понятия относятся к бесконечным классам объектов, в то время как даже самые общие понятия формальной логики относятся к конечным классам. При этом оказывались нарушенными обычные нормы мышления. Потеряло прежний универсальный смысл утверждение «целое больше своей части». Для трансфинитных чисел операция сложения оказалась зависимой от порядка слагаемых.
После работ Кантора операции с бесконечными множествами стали проводиться как если бы все их элементы находились в нашем распоряжении. Бесконечное в самом деле приобрело актуальный характер.
Смелые идеи Кантора, вступившие в противоречие с многовековыми традициями, господствовавшими в математике, идеи, которые приводили к неожиданным и парадоксальным результатам, встретили серьезную оппозицию в лице многих ученых того времени, хотя ни один значительный математик не выступил в печати с отрицанием теории множеств или ее отдельных положений.
Предубеждение к повой теории в какой-то мере объяснялось еще тем, что Кантор, будучи глубоко верующим католиком, придавал своим статьям откровенно выраженную теологическую форму.
Так, он, например, пытался проводить параллель между свойствами бесконечных множеств и библейскими представлениями о боге.
И все же большинство так или иначе сознавали необходимость теории множеств для самых разнообразных областей математики, В частности, с неизменным вниманием относился к исследованиям Кантора его бывший учитель — один из крупнейших математиков того времени немецкий ученый Вейерштрасс. Когда в 1874 году Кантор доказал несчетность множества действительных чисел, заключенных на отрезке, Вейерштрасс убедил его опубликовать полученный результат и сделал все, чтобы работа Кантора была напечатана в самом распространенном математическом периодическом издании того времени «Журнале чистой и прикладной математики».
В августе 1897 года в Цюрихе состоялся первый Международный конгресс математиков, на котором присутствовало около 250 ученых из 16 стран. В первый же день на пленарном заседании выступал А. Гурвиц с докладом по теории так называемых аналитических функций. Все его выступление было пронизано теоретико-множественными идеями.
Теории множеств посвятил свой доклад также известный французский математик Ж. Адамар.
Это было официальным признанием теории.
Третий кризис
Казалось, все говорило о том, что теперь шествие теории множеств будет победным. Стремительно росло число публикуемых работ. Чуть ли не поголовно увлекались новой теорией молодые математики и студенты. Наконец получил глубокое и всестороннее обоснование анализ бесконечно малых.
— Мы можем сказать сегодня с удовлетворением, — торжественно объявил один из самых выдающихся математиков XIX века французский ученый Анри Пуанкаре (1854–1912), — что достигнута абсолютная строгость.
Вообще это был весьма любопытный период в истории естествознания, когда не только в математике, но и в физике создалось ощущение безмятежного благополучия, которое уже ничто не сможет нарушить. Разумеется, ученые знали, что есть еще немало проблем, которые предстоит исследовать, но были искренне убеждены в том, что в их распоряжении имеются уже все средства для решения чуть ли не любых задач.
В действительности же это было всего лишь обманчивое затишье перед бурей. И она разразилась почти одновременно и в физике и в математике. Возможно, такое совпадение не было простой случайностью. Историкам науки еще предстоит исследовать этот вопрос. Во всяком случае физика и математика развивались в тесной связи друг с другом.
То, что произошло в физике, достаточно общеизвестно. Был открыт целый ряд новых фактов, которые не укладывались в стройную и, казалось бы, непогрешимую картину мира, созданную классической физикой. Этот конфликт между теорией и природой привел к настоящей революции — появились совершенно новые физические теории: теория относительности и квантовая механика, новые не только в смысле новых положений и формул, но и в смысле совершенно нового подхода к пониманию явлений природы.
Кризис в математике разразился уже через два года. после оптимистического заявления Пуанкаре. Известный английский ученый Б. Рассел и независимо от него Цермелло обнаружили неожиданный парадокс. Оказалось, что стройные и, казалось бы, логически неуязвимые положения теории множеств приводят к вопиющему логическому противоречию. Суть его состоит в следующем.
Некоторые множества содержат сами себя в качестве одного из элементов. Например, множество всех абстрактных понятий само является абстрактным понятием и потому тоже входит в это множество.
Вполне правомерно, с точки зрения канторовской теории множеств, рассматривать и множество всех существующих вообще множеств или множество всех множеств, обладающих определенным свойством.
Вот и составим множество всех множеств, которые не являются своим собственным элементом, и назовем его множеством А. Но поскольку мы собрали все множества, обладающие таким свойством, среди них должно быть и само множество А. Следовательно, А принадлежит к числу множеств, которые являются своим собственным элементом. Но ведь мы составили множество А только из таких множеств, которые не входят сами в себя.
Несколько короче эту странную ситуацию можно выразить в следующей парадоксальной фразе: множество всех множеств, не являющихся своим собственным элементом, является своим элементом тогда и только тогда, когда оно не является своим элементом…
Тот же парадокс можно изложить и в более житейской форме. Одному брадобрею разрешили брить тех и только тех людей, которые не бреются сами. Таким образом, множество всех людей на Земле, казалось бы, делится на две категории, два различных подмножества — подмножество тех, кто бреется сам, и тех, кто сам не бреется.
Но к какому из двух подмножеств отнести самого парикмахера?
Если он сам себя брить не будет, то попадет в число тех, кого он должен брить. Но если он сам себя побреет, то окажется среди тех людей, которых он брить не должен.
Некоторые парадоксы теории множеств были известны и до этого. Два из них обнаружил сам Кантор, когда после продолжительной болезни, вызванной нервным переутомлением, слова вернулся к математическим исследованиям.
Но парадокс Рассела — Цермелло произвел неизмеримо более сильное впечатление. Ведь он затрагивал не только теорию множеств и даже не только математику, но и логику вообще, — вспомним историю с брадобреем.
Возможно, все дело в том, что нельзя рассматривать слишком обширные множества — такие, как множество всех множеств, обладающих определенными свойствами.
Но если запретить множество всех множеств, мы придем к противоречию с канторовским определением множества.
«Чтобы вообще иметь теорию множеств, — пишет известный математик С. К. Клини в своей книге „Введение в математику“, — надо иметь теоремы, справедливые для всех множеств, а все множества, по канторовскому определению, образуют множество. Если это не так, то мы должны указать, каким определением множества мы будем пользоваться взамен…»
Но главное даже не в этом. Дело в том, что одним из основных, фундаментальных положений логики является так называемый закон исключенного третьего, основанный на многовековом практическом опыте человечества. Коротко этот закон можно выразить так: или «да» — или «нет». Другими словами, любое утверждение либо истинно, либо ложно — третьего быть не может, не может человек одновременно и бриться и не бриться.
Закон исключенного третьего можно сформулировать и в несколько иной более строгой форме: если об одном и том же предмете высказывается некоторое утверждение и утверждение, его отрицающее, то если одно из них истин по, то другое обязательно ложно.
В истории с брадобреем мы еще как-то можем найти выход из положения: брадобрея, удовлетворяющего предъявленным условиям, просто не может существовать, и закон исключенного третьего остается неприкосновенным. А вот в общем случае бесконечных множеств все обстоит значительно сложнее. Здесь уже далеко не ясно, существует или не существует объект с заданными свойствами; не можем мы, очевидно, поручиться и за справедливость закона исключенного третьего.