Некоторые математики иногда забывают, что и их рассуждения не могут быть целиком оторваны от опыта. И если это случается, то, если слова теряют свою служебную роль, опасность встречи с парадоксом возникает тотчас же. Вот яркий пример.

Предметы можно разбивать на классы, и притом по-разному. Скажем, перед нами гора камней. Разложить их можно на кучи по весу: в одной будут камни весом до килограмма, в другой — от одного килограмма до двух, в третьей — от двух до трех и т. д. Можно классифицировать их по цвету: отдельно черные, отдельно серые, отдельно зеленые… Можно разбить их на группы в зависимости от формы.

Подобное разделение может быть не только физическим, но и мысленным. Например, находящиеся в сосуде молекулы газа можно мысленно разбить на двухатомные, трехатомные, четырехатомные. Эти и им подобные примеры не преподнесут нам никаких сюрпризов. Но вот пример другого сорта. Здесь мысленное распределение фактов, явлений, предметов по полкам провести не удастся.

Рассмотрим классы, единственным признаком которых является то, что они состоят более чем из пяти членов. Например, один класс — это шесть коров, второй класс — двадцать два камня, третий — десять граммофонов, четвертый — миллиард молекул… Поскольку классов с таким признаком (больше пяти элементов) очень много, то ясно, что класс таких классов является членом самого себя. Таких примеров классов, которые являются членами самих себя, очень много. И вот тут-то, в примере с классом, являющимся членом самого себя, мы покидаем почву опыта: разделение предметов на упомянутые классы уже в принципе не может быть произведено на опыте.

Разумеется, есть классы, не удовлетворяющие этому условию. Так, класс камней, с которого мы начали, не является членом самого себя, поскольку класс камней не один камень. То же относится и к классу людей, коров или письменных столов.

Рассмотрим теперь класс классов второго типа, то есть таких, которые не являются членами самих себя. К какому типу из двух принадлежит он: является членом самого себя или нет?

Так как его членами являются классы, которые не являются членами самого себя, то этот класс классов будет являться членом самого себя, если он не является членом самого себя.

Вот вам и парадокс.

Может быть, не вдумались? Повторю еще раз.

Обозначим классы, которые являются членами самого себя, через Я, а такие классы, как класс камней, лошадей или людей (то есть не являющиеся членами самих себя), через Н. Вопрос: принадлежит ли класс, членами которого являются классы «Н», к типу «Я» или типу «Н»? К типу «Я» он не принадлежит, поскольку состоит из классов типа «Н». Но тогда он относится К типу «Н». Но ведь он состоит из классов «Н»? Значит, он относится к типу «Я».

Итак, с одной стороны, относится, а с другой — не относится.

Вдумались? Положение, как видите, безвыходное. Да, логика отказала. Где же бессмыслица?

Она все в том же — нельзя играть словами, отрываясь от опыта. Все неприятности возникают сейчас же, как только мы начинаем вводить в качестве условия членства в классе возможность не содержаться в самом себе, или не содержаться в своих членах, или что-либо подобное. Короче говоря, абсурд возникает именно тогда, когда теряется связь с реальной действительностью.

Разумеется, формальная логика всегда может быть спасена введением дополнительных ограничений или условий. Это, однако, нас сейчас не интересует. Мы достигли своей цели — показали на нескольких примерах, в какие тупики может завести игра словами.

Два полюса — схоластика и естествознание

Игра словами как метод познания и объяснения жизни восходит к Аристотелю, доведена была совершенства схоластами средних веков и сохраняется почти неизменной в «учениях» современных отцов церкви и реакционных философов. Уверенность в том, о сочетания слов имеют смысл безотносительно их практического содержания, удивительно живуча. Лишь последние десятилетия естествоиспытатели научились пользоваться словами так, как должно ими пользоваться.

Нет ничего странного в том, что естествознание первым проделало тот путь, который еще предстоит совершить другим областям науки. Вера в изначальный смысл слова, которую преодолела физика, еще порой присутствует (иногда с минимальной модернизацией) в сочинениях, посвященных взаимоотношениям людей друг с другом и с природой. Поэтому представляется нелишним познакомить читателя с типичными схоластическими рассуждениями.

Начнем сначала — вчитаемся в туманные нагромождения слов и вникнем в принцип объяснения природы по Аристотелю.

В противоположность современной науке, которая полагает, что жизнь надо объяснять количественными категориями: пространственным протяжением, геометрической формой, движением тел и телец, — Аристотель, объясняя природу, приписывал каждому свойству материи мистического носителя.

Этот способ объяснения близок ребячьей манере рассуждения. (Может быть, поэтому он так и живуч?!) Почему сладко? Потому, что много сладости. Почему тепло? Потому, что много теплоты, и т. д.

Так объяснить можно все, что угодно, и никаких трудностей при этом не возникает. Как понять, что тела падают на землю?

Очень просто: тела падают под действием присущей им тяжести. Чем больше в теле тяжести, тем быстрее оно падает. Это сочетание слов — характернейший пример бессодержательной болтовни.

Возможность «запросто» объяснить все на свете иногда приводит в восхищение, словесная эквилибристика доведена до совершенства. Аристотелевская физика исходила из того, что каждое движение должно иметь двигатель (второй блестящий пример тавтологии). Двигатель должен находиться либо внутри тела, либо рядом с ним, но в непосредственном контакте. Действие на расстоянии считалось совершенно невозможным.

Но вот вам захотелось узнать объяснение самых простых вещей, скажем, движение брошенного камня. Внутри камня двигателя нет, давящего или тянущего тела около тоже нет. Положение вроде бы тяжелое. Но Аристотеля оно не смущает. Желаете объяснения? Пожалуйста. В момент броска рука приводит в движение не только камень, но и окружающую камень среду. Ну, а дальше?

Спокойствие. Окружающей среде, той ее части, которая пришла в движение, рука передает еще особое качество — «виртус мовенс». Этот «виртус мовенс» есть способность передавать движение другим телам.

Видите, как просто!

Теперь дело пошло без задержки. Камень передвинулся в соседнее место за счет этого самого «вируса». Придя в соседнее место, сдвинул новый участок среды и передал ему еще немного «виртуса». И так далее.

Но ведь камень в конце концов упадет на землю! Ну за чем дело стало? Ясно, что при каждой следующей передаче количества «виртуса» становится все меньше и меньше.

А что за среда, о которой идет речь?

Вероятно, это воздух.

А если воздуха нет?

Все равно среда есть. Дело в том, что Аристотель с жаром отвергает возможность пустоты.

Доводы, отвергающие пустоту, весьма темпераментны, а о логике доказательства можно судить по такому «рассуждению»:

«Пустоты не может быть. Что такое пустота? Это место без помещенных в это место тел. Но ведь это такая же бессмыслица, как напиток, которого нельзя выпить, или как чувство, которого нельзя почувствовать. Из этого сопоставления ясно, что пустоты быть не может».

Вот вам и логическое доказательство. Чтобы опровергнуть на опыте утверждение об отсутствии в мире пустоты, надо потрудиться. Но «глубокомысленные» рассуждения приводили порой к выводам, которые ничего не стоило опровергнуть, прибегнув к элементарному опыту. Не будем говорить о «мудрых» заключениях, касающихся устройства вселенной или движения тел. Достаточно перечислить наудачу лишь несколько плодов размышлений Аристотеля.

Так, если жениться рано, то дети от этого брака будут женского пола; что кровь женщин темнее, чем кровь мужчин; что слонов, страдающих бессонницей, надо лечить, смазывая их плечи оливковым маслом. Пожалуй, наиболее замечательным является доказательство того, что у женщин меньше зубов, чем у мужчин. Мудрецам того времени не приходило в голову попросить жен раскрыть рот, чтобы убедиться в справедливости своих научных выводов.