— 386 —

— Ура! — закричал Илюша. — Наша взяла! А отбить они ее уже больше не могли?

— Нет! Шалишь! — отвечал Радикс. — Противник предпринимал неоднократные контратаки, но был отбит с тяжелыми потерями.

— Так им и надо! А теперь расскажи мне подробней о Галилее.

— Видишь ли, — не сразу ответил Радикс, — дело не столько в самой математике у Галилея, сколько в его прогрессивных научных стремлениях и в распространении его убеждений. Вместо схоластических разглагольствований и бесконечных ссылок на древних, он пытался находить законы природы, определить их и математически сформулировать. Он сам говорил: «Геометрия учит нас изобретательности», то есть геометрия учит ставить физический опыт так, чтобы его результат можно было бы изложить просто, кратко и ясно при помощи математической формулы. Галилей исследовал законы падения тел. И помогли ему в этом Архимед, Аполлоний, а также и древние вавилоняне.

— Хорошо! Но ты все-таки расскажи мне пояснее об этой математической формулировке…

— Видишь ли, существует понятие о «математическом естествознании», которое в общем сводится к разысканию тех математических законов, которые и есть законы природы. Их изучение началось очень давно. Нет сомнения, что вавилонские астрономы были зачинателями этого. Правда, у них сюда еще запутывается лженаука астрология, гадание по звездам, но мы на это можем не обращать внимания. Вернемся к тому дельному и трезвому, что у них было. Это были, например, попытки с помощью некоторых математических правил выразить движение небесных тел Солнечной системы. Так как календарь для человеческого общества вещь немаловажная, то эта тема никогда от внимания ученых не ускользала. Важные попытки были сделаны и в Древней Греции. В начале нашей эры (в эллинистическую эпоху) была уже создана вполне пригодная для практики и по-своему превосходная Птолемеева система. Древнегреческая геометрия развивалась бурно, успехи у нее были необыкновенные, но приложений ее на практике было чрезвычайно мало. Ал-Хорезми, ученый-араб, даже относился к ней надменно, ибо не видел от нее практической пользы. И только ко времени эпохи Возрождения, на почве совершенно нового мира, вплотную ознакомившись с наукой древности, такие ученые, как Галилей и Коперник, смогли заново начать математическое естествознание, применив высшие завоевания древней науки к астрономии и механике. Это и определило расцвет нашей цивилизации.

— 387 —

Надо понимать, что математика формировалась за долгие тысячелетия из многовековых наблюдений законов природы (раньше всего астрономии), из успешных и многообразных опытов человеческой трудовой жизни (навигация, строительство, различные ремесла, определение границ земельных участков, художества и многое другое в том же роде). Наблюдаемые или, так сказать, угаданные закономерности затем стараются привести в систему, причем довольно скоро обнаруживается, что для построения научной системы, опирающейся на одно дело (например, на землемерие), требуется одна математическая и логическая система (или дисциплина), а для другого дела (скажем, для живописи и декораций) совершенно иная, хотя обе они как бы намертво скреплены незыблемой логикой, трезвым суждением, а кроме того, постоянно, почти ежеминутно проверяются на практике. Далее стараются все, так сказать, здание некоторой логико-математической системы превратить в безукоризненно-стройное построение, опирающееся на небольшой ряд неоспоримых (нередко и недоказуемых) положений, причем зачастую различные системы (или дисциплины) понемногу врастают одна в другую и роднятся друг с другом. Затем постепенно возникают очень широкие обобщения, которые позволяют довольно сложным способом объединять эти разные дисциплины, но, разумеется, это уж такие хитрые отвлеченности, что нам с тобой пока можно о них только повздыхать!.. Так вот как оно происходит и развивается, мой юный друг. Все это совсем не так просто, но все же это дело человеческого рассудка, и постепенно со всеми этими роскошными чудесами нашей мысли можно понемногу ознакомиться и освоиться.

— А что ты скажешь о противниках Галилея?

— Ученые средних веков очень любили в своих длинных рассуждениях пускаться в разного рода сравнения (аналогии).

Им казалось, что если они сумеют удачно сравнить одно малоизвестное людям явление с другим хорошо известным, то суть первого явления станет тем самым совершенно ясной. И если они знали по какому-нибудь поводу несколько таких сравнений, особенно из высказанных древними авторами, им казалось, что они уже одолели этот вопрос целиком. Но когда надо было выяснить, как летит пуля, выпущенная из ружья, то ведь эти побасенки ничем помочь не могли. Был в Италии в старые времена такой замечательный скульптор и золотых дел мастер Бенвенуто Челлини[31]. Он участвовал в одной из тогдашних войн. В своих воспоминаниях он касается своих военных

— 388 —

подвигов и рассказывает, как однажды успешно обстрелял из пищали неприятельских солдат навесным огнем, добавляя при этом, что достиг успеха, исключительно будучи прекрасным практиком, потому что, уверяет он, «по науке» обстрелять противника на таком расстоянии было нельзя. Почему нельзя? Потому что тогда твердо верили, что, во-первых, пуля летит горизонтально, а во-вторых, что сила снаряда убывает по мере удаления от дула орудия. Поэтому, когда великий самоучка Тарталья, переводчик Евклида и Архимеда, составитель первой таблицы удельных весов, стал объяснять артиллеристам, какова траектория нули (он ее определял только приблизительно), то удивлению их не было границ. Простые и очевидные вещи проходили мимо внимания «книжников» и практиков, а всякие затейливые фантазии влекли их к себе. Тебе это понятно?

— Какие фантазии?

— Взять, например, хоть так называемые дружественные числа. Такими были, скажем, числа 220 и 284, так как каждое из них равняется сумме делителей другого. Действительно:

284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110;

220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142

Чтобы поболтать о том, что такое очень крепкая дружба и какие именно люди могут подружиться, эти числа просто незаменимы. Вот, например, какую я слышал на эту тему притчу.

Некий мудрец спрошен был, что есть дружба, и отвечал на это так: «Если бы взял я два целых числа, 284 и 220, то мне сказали бы, что они мало чем друг на друга похожи. А я бы на то ответствовал: так кажется тому, кто не хочет проникнуть вглубь своей мыслью. А мудрец через тайны счета познает, что если найти все делители, на которые делится одно из чисел без остатка, и тем путем узнать, на какие его части разъять можно, то, стожив затем все делители, я получу второе из названных чисел. А если тем же порядком разъять на части второе, то, сложив, получу первое. Вот что есть дружба! Она тогда крепка бывает, если качества одного друга в сердце другого по-иному соединяются». А вот и другая легенда о тех же числах. Жили-были два друга, и крепко они друг друга любили.

Вот одного из них и спросили: «Ценишь ли ты своего друга?» Тот отвечал на это: «Ценю, ибо знаю ему цену». — «Во что же ты его ценишь?» И на это спрошенный ответил так: «Если бы я собрал воедино все, на что я готов поделиться для друга моего, то это как раз и была бы цена другу моему, и тем бо-

— 389 —

лее она справедлива, что и он меня в ту же цену ценит». Имя первого друга есть число, которое мы можем изобразить так:

23 · 19 · 41,

а имя второго — это другое число:

25 · 199.

Вот какова вторая легенда. Получаются такие занимательные арифметические басенки о дружбе, но математическое содержание их ничтожно, а именно такими-то вещами и любили заниматься схоласты. Вот тебе еще две пары дружественных чисел:

I) 2620 и 2924;

II) 5020 и 5564.

— Это смешно, — ответил Илюша, — но разве такие сравнения или аналогии совсем уже никуда не годятся?

— Почему же! — отвечал Радикс. — Иные аналогии очень даже полезны, когда они что-нибудь объясняют нам. Один физик утверждал, например, что мир (то есть Вселенная) безграничен, но конечен. Чтобы не путаться, мы не станем обсуждать, прав он или нет, а разберем только одно остроумное сравнение, благодаря которому ему удалось сделать свою мысль понятной. Он начал с такого образа. Возьмем прозрачную сферу, положим ее на плоскость, которая простирается повсюду безгранично. Пусть сфера касается этой плоскости в точке S. Тогда в противоположной точке N я помещу светящуюся точку, источник света. Теперь, если я возьму маленький непрозрачный кружок и помещу его на поверхность сферы, то он будет отбрасывать, разумеется, тень на плоскость. Чем ближе я буду подвигать кружок к точке S, тем меньше будет становиться его тень. Чем ближе, наоборот, он будет подвигаться к точке N, тем быстрее и быстрее будет расти его тень на плоскости и при этом быстро удаляться от сферы, так что, когда кружок будет у самой точки N, тень уйдет в бесконечность и станет бесконечно большой. Далее: поверхность сферы ограничена, и на ней можно расположить только конечное число кружков. А если теперь изучать геометрию этих теней на плоскости, то нужно заключить, что по отношению к теням кружков эта бесконечная плоскость конечна, ибо этих теней на ней помещается ограниченное число, а именно ровно столько, сколько может поместиться кружков на сфере. Если мне возразят, что все это неверно, ибо тени по мере удаления от точки все растут и растут, тогда я предложу измерять тени при помощи тени какого-нибудь масштаба, который я буду пере-