Какое количество бензина (в заправках) необходимо для того, чтобы грузовик мог пересечь пустыню? Существует ли предельная ширина пустыни, которую можно пересечь на грузовике?

2. Двое детей. У мистера Смита двое детей. По крайней мере один из них мальчик. Какова вероятность того, что оба ребенка мистера Смита — мальчики?

У мистера Джонсона двое детей. Старший ребенок девочка. Какова вероятность того, что оба ребенка мистера Джонсона — девочки?

3. Шахматная задача лорда Дансэни. Поклонникам ирландского писателя лорда Дансэни вряд ли нужно говорить о том, что лорд Дансэни любил шахматы (его рассказ «Гамбит трех моряков», несомненно, самая занимательная из когда-либо написанных шахматных новелл). Однако не столь широко известно, что он любил придумывать хитроумные шахматные задачи, в которых так же, как и в его рассказах, сочетались юмор и фантазия.

На рис. 152 изображена задача, которую Дансэни предложил для сборника «В часы досуга». Для ее решения умение логически мыслить требуется в гораздо большей степени, чем умение играть в шахматы (хотя правила игры знать необходимо). Белые начинают и дают мат в четыре хода. Изображенная на рис. 152 позиция может встретиться и в реальной партии.

Рис. 152 Шахматная задача лорда Дансэни.

4. Профессор на эскалаторе. Польский математик профессор Станислав Шляпенарский, идя очень медленно по движущемуся вниз эскалатору, успевает спуститься на 50 ступеней, прежде чем эскалатор кончается. Из любопытства он взбегает затем по тому же эскалатору (не пропуская при этом ни одной ступени) и оказывается наверху после того, как преодолеет 125 ступеней.

Сколько ступеней можно будет насчитать в остановившемся эскалаторе, если предположить, что вверх профессор взбегает в пять раз быстрее, чем спускается вниз (то есть за то время, за которое, идя вниз, профессор опускается на одну ступеньку, взбегая наверх, он успевает подняться на пять ступенек)?

5. Одинокая восьмерка. Редакторы журнала The American Mathematical Monthly обнаружили, что самой популярной из когда-либо напечатанных журналом задач является задача, присланная Р. Л. Шэссэном (April 1964).

Наш добрый знакомый и известный знаток теории чисел профессор Евклид Парацельсо Бомбасто Умбигио страшно занят проверкой на своем арифмометре 81 х 10⁹ возможных решений следующей задачи. Требуется восстановить запись деления столбиком одного числа на другое (деление производится без остатка), в которой все цифры подряд были заменены на X, за исключением цифр в частном, где они почти все оказались стертыми:

Посрамите профессора! Докажите, что число возможных решений можно понизить до (81 х 10⁹)⁰.

Поскольку любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице, читатель должен найти единственно возможное решение задачи. Цифра 8 в частном стоит на правильном месте: восьмерка является третьей цифрой пятизначного ответа. Задача легче, чем может показаться на первый взгляд, и решается без особого труда, если воспользоваться некоторыми вполне элементарными соображениями.

6. Как разделить пирог? Существует простой способ, при котором двое могут разделить пирог так, чтобы каждому досталась по крайней мере половина: один разрезает пирог, а другой выбирает себе кусок. Придумайте общий метод, который позволил бы n персонам разделить пирог на п частей так, чтобы каждому досталось не меньше, чем по 1/n пирога.

7. Складывание карты. Математикам и по сей день не удалось найти формулу для числа способов, которыми можно сложить дорожную карту при заданном числе n сгибов. Некоторое представление о сложности этого вопроса дает следующая головоломка, придуманная все тем же Генри Э. Дьюдени.

Разделите прямоугольный листок бумаги на восемь квадратов и перенумеруйте их (только с одной стороны листа) так, как показано на рис. 153 вверху.

Рис. 153 Головоломка Дьюдени со складыванием карты.

Существует 40 различных способов перегибания этой «карты» вдоль проведенных прямых, при которых на верхнем квадрате после складывания оказывается цифра 1. Карту требуется складывать так, чтобы цифры на квадратах шли последовательно от 1 до 8, причем квадрат с цифрой 1 был наверху.

Если вам удалось решить эту задачу, постарайтесь решить более сложную: попробуйте сложить таким же образом «карту», изображенную на рис. 153 внизу.

8. Рассеянный кассир. Рассеянный кассир, оплачивая чек мистеру Брауну, перепутал доллары и центы и отсчитал клиенту доллары вместо центов и центы вместо долларов. Купив газету за пять центов, Браун обнаружил, что денег у него ровно вдвое больше, чем он должен получить по чеку. На какую сумму был выписан чек?

9. Вода и вино. В уже упоминавшейся задаче с таким названием говорилось о двух сосудах, в одном из которых содержалось вино, а в другом вода. Некоторое количество воды наливают в вино, а затем то же количество смеси переливают снова в сосуд с водой.

Спрашивается, чего больше: воды в вине или вина в воде? Ответ: количество воды в сосуде с вином и вина в сосуде с водой одинаково.

Раймонд Смаллиан поставил новый вопрос. Предположим, что сначала в одном сосуде находится 10 унций воды, а в другом 10 унций вина. Если из первого сосуда во второй и обратно переливать любое число раз по три унции жидкости (тщательно перемешивая содержимое сосуда после каждого переливания), то может ли наступить момент, когда процентное содержание вина в сосудах станет одинаковым?

Ответы

1. Приводимое ниже решение задачи о том, как пересечь пустыню, заимствовано из журнала Eureka, издаваемого студентами-математиками университета в Кеймбридже (Массачусетс). Назовем «единицей» расстояние в 500 миль, одной заправкой — количество бензина, необходимое для того, чтобы проехать 500 миль, и рейсом — поездку, совершаемую грузовиком в любом направлении от одной остановки до другой.

Две заправки позволяют грузовику пройти максимальное расстояние в 4/3 единицы. Для этого необходимо совершить четыре рейса. Сначала на расстоянии 1/3 единицы от пункта отправления строится бензохранилище: грузовик полностью заправляют (на это уходит 1 заправка), после чего он едет к бензохранилищу, оставляет там 1/3 заправки и возвращается назад. Его снова полностью заправляют (на что уходит еще 1 заправка). Он опять едет к бензохранилищу и забирает оставленную там 1/3 заправки (таким образом, он снова оказывается полностью заправленным). После этого он может проехать еще расстояние в 1 единицу.

Три заправки позволят грузовику проехать расстояние в 4/3 + 1/5 единицы, причем для этого потребуется совершить девять рейсов.

Сначала на расстоянии 1/5 единицы от пункта отправления строят бензохранилище и завозят в него 6/5 заправки. На это уходят три рейса. Затем грузовик возвращается, полностью заправляется (на что уходит последняя заправка) и прибывает к первому хранилищу, имея в своих баках 4/5 заправки. Вместе с уже имеющимся в бензохранилище топливом это количество составляет две полные заправки, что достаточно для того, чтобы грузовик мог пройти еще 4/3 единицы расстояния (как это сделать, мы только что объяснили).