Рис. 104 Задача о мухе и капле меда.

Внутри него на расстоянии одного дюйма от верхнего края на стенке имеется капелька меда. Снаружи на стенке, прямо против капельки, на расстоянии одного дюйма от дна стакана сидит муха.

Каков кратчайший путь мухи к меду? Какое расстояние должна пройти муха, следуя кратчайшим путем к любимому лакомству?

Интересно отметить, что, хотя Дьюдени был мало знаком с топологией, в его время еще только начинавшей развиваться, при решении различных головоломок, связанных с отысканием кратчайших путей или размещением фигур на шахматной доске, он нередко пользовался остроумными топологическими приемами. Одним из таких приемов является его «метод нити и пуговиц». Сущность этого метода хорошо можно понять на примере старинной шахматной задачи, изображенной на рис. 105.

Рис. 105 Изобретенный Дьюдени «метод нити и пуговиц».

Как поменять местами черных и белых коней за наименьшее число ходов? Заменим восемь внешних квадратов доски восемью пуговицами, а все возможные ходы каждого коня отметим прямыми, соединяющими начальную и конечную позиции (на рис. 105 это показано на средней схеме). Представим себе теперь, что эти прямые — не что иное, как нити, связывающие пуговицы. Очевидно, что эти нити, не меняя топологической структуры и связности схемы, можно распутать и расположить говицы по окружности (на рис. 105 такое расположение показано внизу). Теперь сразу видно, что для решения задачи нужно лишь, записывая ходы (чтобы потом воспроизвести их на шахматной доске), переставлять коней в любом направлении по кругу до тех пор, пока они не поменяются местами. То, что поначалу казалось сложным, «метод нити и пуговиц» делает до смешного простым.

Многие задачи Дьюдени относятся к теории чисел. Наиболее трудную из них сформулировал доктор медицины из «Кентерберийских головоломок». У почтенного доктора было два сферических сосуда, один из них имел в окружности ровно фут, другой — два фута. Доктору хотелось выяснить точную величину двух других сосудов той же формы, но иных размеров, которые вмещали бы столько же жидкости, сколько первые два сосуда.

Поскольку объемы сосудов, имеющих одинаковую форму, но отличающихся размерами (в геометрии такие фигуры называются подобными), относятся как кубы соответствующих линейных размеров, задача сводится к решению диофантова уравнения х³ + у³ = 9 в рациональных числах, отличных от 1 и 2. Два таких числа, разумеется, должны быть дробными. Дьюдени нашел дроби

Знаменатели и первой и второй дроби оказались короче ранее известных. Если учесть, что Дьюдени не пользовался никаким калькулятором, то этот факт достоин удивления.

Любителям такого рода задач доставит удовольствие и более простое исследование: найти два рациональных числа, сумма кубов которых равна 6. Французский математик прошлого века Андриен Мари Лежандр доказал, что таких дробей не существует, однако Дьюдени опроверг его «доказательство» и сумел найти решение.

Числители и знаменатели найденных Дьюдени дробей всего лишь двузначны!

Задаче Дьюдени о треугольнике, который нужно разрезать так, чтобы из его частей можно было составить квадрат, было посвящено много писем читателей. Оказалось, что метод Дьюдени после некоторых изменений приложим не только к равносторонним треугольникам, но и к более широкому классу треугольников. Одна читательница сообщила, что задача Дьюдени навела ее сына на мысль сделать набор из четырех столиков, которые при желании можно составить так, чтобы их крышки образовывали либо квадрат, либо равносторонний треугольник. Столики всем очень понравились. Другой читатель, воспользовавшись решением Дьюдени, разбил плоскость на бесконечную мозаику из взаимозацепляющихся квадратов и равносторонних треугольников.

Некоторые читатели, ошибочно полагая, что точки J и К (на рис. 101) расположены непосредственно под точками D и Е, прислали доказательства того, что из четырех частей треугольника нельзя составить точный квадрат. Но по построению точки J и К не совпадают с основаниями перпендикуляров, опущенных из D и Е. Строгое доказательство точности решения Дьюдени можно найти в статье Честера У. Хоули «Еще одна заметка о превращении квадрата в равносторонний треугольник».[39]

Интересный вариант задачи Дьюдени о пауке и мухе опубликовал Морис Крайчик. Восемь пауков отправляются на охоту из точки, расположенной на 80 дюймов выше центра торцовой стенки комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда.

Каждый из них, следуя своим маршрутом, направляется к мухе, сидящей в точке, расположенной на 80 дюймов ниже центра противоположной стенки комнаты. Каждый паук движется со скоростью 0,65 мили в час. По истечении 625/11 секунды все пауки одновременно настигают муху. Каковы размеры комнаты?

Ответы

Длина кратчайшего пути от паука к мухе равна 40 футам, как видно из развертки комнаты, показанной на рис. 106. Интересно заметить, что эта геодезическая пересекает 5 из 6 граней развертки.

Рис. 106 Ответ к задаче о пауке и мухе.

Муха доползает до капли меда, пройдя 5 дюймов. Ее маршрут на развертке стакана показан на рис. 107.

Рис. 107 Ответ к задаче о мухе и капле меда.

Именно так распространялся бы свет из точки, где сидела муха, в точку, где находится капля меда (от верхнего края стакана луч света отражается по закону: угол падения равен углу отражения). Из чертежа видно, что путь мухи равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами в 3 и 4 дюйма.

Две дроби, сумма кубов которых равна 6, выражаются числами 17/21 и 37/21

Решение задачи о пауках и мухе дано в книге Крайчика.

Глава 19. ЦИФРОВЫЕ КОРНИ

Запишите номер вашего телефона. Из входящих в него цифр, переставленных в любом порядке, образуйте новое число и вычтите из большего числа меньшее. Сложите все цифры ответа. Среди волшебных знаков (рис. 108) найдите звездочку и поставьте на нее палец.

Рис. 108 Волшебные знаки для фокуса с телефонным номером.

Начиная со звездочки (она соответствует числу 1), обходите по часовой стрелке волшебные знаки, прибавляя при каждом шаге по 1 (так, треугольник будет соответствовать 2, три зигзагообразные линии — 3 и т. д.) до тех пор, пока вы не досчитаете до полученной суммы. Ваш счет всегда будет заканчиваться на спирали.

Нетрудно понять, на чем основан этот нехитрый фокус. Он может служить отличным введением в понятие сравнения двух чисел, сформулированное Гауссом. Если два числа при делении на любое заданное число k дают одинаковые остатки, то про такие числа говорят, что они сравнимы по модулю к, а само число k называют модулем сравнения. Например, 16 и 23 при делении на 7 дают остаток 2, следовательно, эти числа сравнимы по модулю 7.

Так как 9 — наибольшая из цифр в десятичной системе счисления, сумма цифр любого числа всегда сравнима по модулю 9 с самим числом. Цифры, которыми записана сумма цифр исходного числа, в свою очередь можно сложить и получить новое, третье число, сравнимое с двумя первыми, и т. д. Продолжая этот процесс, мы в конце концов получим однозначное число — сам остаток.