Проговорив менее десяти минут, Планк написал на доске свое уравнение для излучения абсолютно черного тела. Обернувшись, он посмотрел на знакомые лица в зале и сказал, что эта формула, “насколько я могу судить, соответствует всем экспериментальным данным, опубликованным к настоящему времени”⁴⁵. Ответом были вежливые кивки. Молчание зала можно было понять. В конце концов то, что только что предложил Планк, было еще одной подгоночной формулой для описания экспериментальных результатов. Ведь уже предлагались другие уравнения, призванные восполнить пробел, если все же подтвердится отклонение от закона Вина при больших длинах волн.

На следующий день Рубенс пришел поддержать Планка и сказать ему, что “после окончания заседания он в ту же ночь сравнил формулу с результатами своих измерений... и обнаружил удовлетворительное согласие по всем пунктам”⁴⁶. Меньше чем через неделю Рубенс и Курльбаум сообщили, что они проверили пять разных формул. Сравнив их со своими данными, они выяснили, что наиболее точной является формула Планка. Пашен также подтвердил, что формула Планка согласуется с экспериментом. Однако, несмотря на поддержку экспериментаторов, Планк был озабочен.

Формулу он получил, но что она означала? Какова стоящая за этим физика? Планк понимал, что если ответа на эти вопросы не будет, его результат в лучшем случае окажется “улучшением” закона Вина, “просто формулой, обнаруженной в результате счастливой догадки”, “лишь формально имеющей какое-то значение”⁴⁷. “Именно поэтому, — скажет Планк позднее, — в первый же день после того, как я сформулировал этот закон, я постарался сделать все, чтобы наполнить его истинным физическим смыслом”⁴⁸. Для этого надо было вывести искомую формулу, используя шаг за шагом основные физические принципы. Планк знал, куда он должен прийти, но ему надо было определить путь, которым туда можно было попасть. У него был бесценный указатель: уравнение. Вопрос заключался лишь в том, какую цену он готов заплатить за путешествие?

Следующие шесть недель, вспоминал Планк, он “работал так рьяно, как никогда в жизни”, а затем “тьма рассеялась, и неожиданно забрезжил свет в конце туннеля”⁴⁹. Тринадцатого ноября он написал Вину: “Моя новая формула хороша, а теперь у меня есть и ее теоретическое обоснование, которое через четыре недели я представлю здесь [в Берлине] на Физическом обществе”⁵⁰. Планк ничего не сказал Вину ни о той напряженной интеллектуальной борьбе, результатом которой стала эта теория, ни о самой теории. Все это время он долго и упорно добивался того, чтобы привести свою формулу в соответствие с двумя великими теориями, лежащими в основании физики XIX столетия: с термодинамикой и электродинамикой. Эту борьбу он проиграл.

Планк был убежден, что “теоретическое объяснение должно быть получено любой ценой, не важно, сколь она будет высока”⁵¹. Он “готов был пожертвовать любым из физических законов, в справедливость которых свято верил”⁵². Планк уже не заботился о том, чего это будет ему стоить, лишь бы удалось “получить правильный ответ”⁵³. Для удивительно сдержанного человека, чувствовавшего себя свободно только за пианино, это было очень громкое заявление. Доведенный до изнеможения борьбой за объяснение своей формулы, он был вынужден совершить “акт отчаяния”. Это и привело его к открытию кванта⁵⁴.

При нагревании стенок абсолютно черного тела внутрь полости излучается весь спектр частот: инфракрасные, видимые и ультрафиолетовые. Последовательный теоретический вывод формулы Планка должен был основываться на физической модели, с помощью которой можно было бы воспроизвести спектральное распределение энергии излучения абсолютно черного тела. Кое-что уже приходило Планку на ум. Его не смущало, что такая модель не отражала в полной мере реальность. Единственное, чего хотел Планк, — найти правильное соотношение между частотами и, следовательно, длинами волн излучения внутри полости. Наиболее простую модель удалось придумать, воспользовавшись тем, что распределение частот зависит только от температуры, но не от материала, из которого изготовлено абсолютно черное тело.

В 1882 году Планк писал: “Несмотря на все успехи, достигнутые атомной теорией, ясно, что в конце концов она уступит место предположению о непрерывности материи”⁵⁵. Восемнадцать лет спустя он все еще не верил в атомы: неопровержимого доказательства их существования не было. Из теории электромагнетизма Планк знал, что электрический заряд, колеблющийся с определенной частотой, испускает и поглощает излучение только той же частоты. Поэтому он представил себе стенки абсолютно черного тела в виде набора огромного числа осцилляторов. Хотя каждый осциллятор излучает всего одну частоту, вместе они могут излучать весь спектр частот, которые присутствуют внутри абсолютно черного тела.

Маятник — это осциллятор, частота которого равна числу колебаний за одну секунду. Одно колебание — это отдельное качание туда и обратно, возвращающее маятник в исходное положение. Другой пример осциллятора — груз на пружине. Его частота равна числу прыжков вверх и вниз, совершаемых грузом за секунду, если покоящийся груз потянуть вниз и отпустить. К тому времени, когда Планк для своей теоретической модели использовал то, что он назвал осцилляторами, физика таких колебаний давно уже была известна, а сами колебания маятника или груза получили название “простого гармонического движения”.

Чтобы иметь возможность генерировать разные частоты, Планк представил себе совокупность осцилляторов как набор невесомых пружинок различной жесткости, каждая из которых обладает электрическим зарядом. Нагревание стенок абсолютно черного тела доставляет системе энергию, нужную, чтобы привести осцилляторы в движение. Возбужден данный осциллятор или нет, зависит только от температуры. Если осциллятор активен, он испускает и поглощает излучение внутри полости. Если поддерживать постоянную температуру, через определенное время устанавливается баланс такого динамического обмена энергией излучения и достигается состояние термодинамического равновесия.

Спектральное распределение энергии излучения абсолютно черного тела описывает то, как полная энергия делится между частотами. Планк предположил, что интенсивность излучения определяется числом осцилляторов, колеблющихся на данной частоте, и теперь должен был придумать способ, позволяющий распределить энергию излучения по осцилляторам. Через несколько недель упорного труда Планк понял, что не может вывести формулу, исходя из физических представлений, так долго воспринимавшихся им как символ веры. В отчаянии он обратился к идеям австрийского физика Людвига Больцмана, наиболее рьяного сторонника теории атомов. На пути к заветной формуле Планку пришлось стать вероотступником и после долгой “открытой неприязни к атомной теории”⁵⁶ признать, что атом представляет собой нечто большее, чем просто удобное допущение.

Людвиг Больцман был плотным, небольшого роста человеком со впечатляющей бородой, какие носили в конце XIX века. Он родился в Вене 20 февраля 1844 года в семье акцизного чиновника. Некоторое время Больцман учился игре на пианино у композитора Антона Брукнера, но физиком оказался лучшим, нежели пианистом. В 1866 году Больцман защитил докторскую диссертацию в Венском университете и быстро стал известен благодаря своему фундаментальному вкладу в кинетическую теорию газов, названную так потому, что ее сторонники верили: газы состоят из атомов или молекул, находящихся в постоянном движении. Позднее, в 1884 году, Больцман теоретически обосновал закон, ранее сформулированный на основе анализа экспериментальных данных его прежним наставником Йозефом Стефаном. Согласно этому закону, полная энергия излучения абсолютно черного тела возрастает пропорционально четвертой степени температуры T⁴, или T x T x T x T. Это значит, что если температуру абсолютно черного тела увеличить в два раза, излученная энергия увеличится в шестнадцать раз.