Когда, во второй половине XVII века, открыто было исчисление бесконечно малых, эта отрасль высшей математики нашла более быстрые и удобные приемы вычисления π нежели те, которыми располагает элементарная математика. Открыты были весьма важные для теории соотношения между числом π и другими математическими величинами. Наконец, выявлены были замечательные особенности числа π, бросившие новый свет на старинную задачу о квадратуре круга.
До настоящего времени известно 707 цифр в числе π. Они были вычислены в 1874 г. английским математиком Шенксом. Это «самое длинное π» изображено под потолком зала математических развлечений Дома Занимательной Науки в Ленинграде, вдоль четырех стен помещения.
![Квадратура круга _17_str12.png](https://litlife.club/books/267883/read/images/_17_str12.png)
Завершение поисков
![Квадратура круга _18_zavershenie.png](https://litlife.club/books/267883/read/images/_18_zavershenie.png)
Каким бы путем ни приступать к задаче о квадратуре круга, она приводит к необходимости построить отрезок x, удовлетворяющий уравнению
иначе говоря, задача приводит к построению формулы
![Квадратура круга _19_str13_1.png](https://litlife.club/books/267883/read/images/_19_str13_1.png)
Так, например, следующая формула
![Квадратура круга _20_str14_1.png](https://litlife.club/books/267883/read/images/_20_str14_1.png)
может быть построена (это — сторона правильного описанного десятиугольника). Напротив, простая на вид формула удвоения куба
![Квадратура круга _21_str14_2.png](https://litlife.club/books/267883/read/images/_21_str14_2.png)
не может быть построена.
Обращаясь к формуле квадратуры круга,
![Квадратура круга _22_str14_3.png](https://litlife.club/books/267883/read/images/_22_str14_3.png)
![Квадратура круга _23_str15_1.png](https://litlife.club/books/267883/read/images/_23_str15_1.png)
![Квадратура круга _24_str15_2.png](https://litlife.club/books/267883/read/images/_24_str15_2.png)
![Квадратура круга _24_str15_3.png](https://litlife.club/books/267883/read/images/_24_str15_3.png)
Вообще, все те числа, которые получаются путем однократного или повторного (но не бесконечного) извлечения квадратного корня, могут быть строго геометрически построены.
К этому роду несоизмеримых чисел π не принадлежит. В 1882 г. немецкий математик Линдеман опубликовал исследование, из которого вытекает, что число π не может быть получено в результате конечного ряда извлечений квадратного корня. Теи самым устанавливается невозможность построения формулы квадратуры круга, а следовательно, и неразрешимость этой задачи.
Доказательство неразрешимости какой-либо задачи рассматривается в математике как своего рода решение проблемы, потому что такое утверждение дает вполне исчерпывающий ответ на поставленный вопрос. В этом смысле доказательство Линдемана можно считать решением задачи о квадратуре круга, решением, полагающим конец двухтысячелетней работе над этой проблемой. Продолжают искать другого решения задачи только малосведущие любители. «Таких искателей — писал еще в 18-м столетии математик Ламберт — всегда будет достаточно, и если судить о будущих по их предшественникам, то это будут по большей части люди, мало смыслящие в геометрии и лишенные возможности правильно оценивать свои силы. Там, где им не хватает знания и понимания, где они не могут ничего сделать c помощью правильных последовательных выводов, там жажда славы и денег создает софизмы, которые чаще всего не отличаются ни особой тонкостью, ни особой замысловатостью».
Квадратура круга и потребности практики
![Квадратура круга _25_kvadratura.png](https://litlife.club/books/267883/read/images/_25_kvadratura.png)
Остается рассмотреть еще вопрос: нужно ли точное решение квадратуры круга для фактических расчетов? Оказывается, надобности в точном решении этой задачи никогда практически не возникает. Достаточно располагать таким решением, которое давало бы приближенный результат с желаемой степенью точности; а этого можно достичь, пользуясь даже частью известных уже цифр в выражении π.
Какую точность можно получить этим путем, видно из слов знаменитого французского астронома прошлого века Франсуа Араго. В своей «Общепонятной астрономии» (1849) он писал:
«Посмотрим, с какою точностью возможно, пользуясь цифрами π, вычислить длину окружности, радиус которой равен среднему расстоянию Земли от Солнца (150 000 000 км).
«Если для π взять 18 цифр, то ошибка на одну единицу в последней цифре вовлечет за собой в длине вычисляемой окружности погрешность в 0,0003 миллиметра; это гораздо меньше толщины волоса.[2]
![Квадратура круга _26_str18.png](https://litlife.club/books/267883/read/images/_26_str18.png)
«Мы взяли 18 цифр π. Легко представить себе, какую невообразимо малую погрешность сделали бы, при огромности вычисляемой окружности, если бы воспользовались для π всеми известными его цифрами.
«Из сказанного ясно, как заблуждаются те, которые думают, будто науки изменили бы свой вид, и их применения много выиграли бы от нахождения точного π, если бы оно существовало».
Итак, даже для астрономии, — науки, прибегающей к наиболее точным вычислениям, — не требуется вполне точного решения квадратуры круга.
Десять задач
![Квадратура круга _27_10zadach.png](https://litlife.club/books/267883/read/images/_27_10zadach.png)
1. В старину при определении площади круглого участка землемеры часто поступали так: считали круг равновеликим квадрату, периметр которого равен длине окружности измеряемого участка. Какую относительную ошибку (в процентах) они при этом делали, если принять π=3,14? (Этот способ восходит к временам древнего Египта; он указан, наряду с другими, в папирусе Ринда. В средние века он был широко распространен также в Европе).
2. В древней египетской рукописи (в «папирусе Ринда») находим следующее правило для определения площади круга: она равна площади квадрата, сторона которого составляет
![Квадратура круга _28_str19_1.png](https://litlife.club/books/267883/read/images/_28_str19_1.png)
2
«А площадь этого круга, — говорит Араго в другом месте книги, — можно вычислить с точностью до величины пространства, занимаемого мельчайшей пылинкой».