Аксиомы позволяют исследовать всё. Чтобы не слишком увлекаться абстрактной логикой, перейдем к конкретным примерам.

Представьте, что двое шахматистов научились игре по учебнику, где по случайности ничего не сказано о ситуации, когда один из игроков при своей очереди хода не может сделать ход, не нарушив правил. При этом его король не атакован вражеской фигурой («королю нет шаха»).

Как видите, понадобилось много слов, чтобы строго определить понятие, известное любому начинающему, — «пат».

Наши игроки окажутся в затруднении. Игру продолжить невозможно. Но чем она закончилась — неизвестно. И они просто будут обязаны ввести какое-то добавочное правило — какую-то аксиому. Если они играли до этого в шашки или «Волки и овцы», то, возможно, рассуждая по аналогии, они условятся, что в этом случае необходимо засчитывать поражение шахматисту, которому поставлен пат^[5].

Но какую-то аксиому они обязаны выбрать.

Их система оказалась неполной.

Она не предусматривала все возможные ситуации.

В другой популярной игре основные понятия (объекты) — футболисты и мяч. Строго говоря, десять полевых игроков, вратарь, судья, боковые судьи, ворота, футбольное поле со всеми его линиями и мяч.

И опять же аксиомы (правила игры) должны быть составлены так, чтобы можно было однозначно судить о любой возможной ситуации для элементарных объектов.

То, что в дворовых матчах обычно не очень ясно представляют полный свод футбольного кодекса, порождает неисчислимое множество драк, что, в свою очередь, убедительно демонстрирует опасность забвения аксиоматики. Хотя, как правило, команды и договариваются перед началом игры о необходимой модификации правил применительно к условиям двора, но полная аксиоматика, даже в такой простой игре, как футбол, — дело довольно хитрое. Отсюда все трагедии.

Наконец, любой уголовный кодекс в принципе должен быть полной системой аксиом, предусматривающей все возможные опасные для общества ситуации.

Как будто намечен ясный путь проверки системы аксиом на «требование полноты».

О, если бы все было так просто, как я только что рассказывал! Математики были бы счастливы.

Позволим себе на мгновение роскошь говорить наивно.

Итак:

Система аксиом для данной группы основных (первичных) понятий полна, если для любого общего суждения А (любой теоремы), относящегося к данным первичным понятиям, мы на основе этих аксиом можем разрешить вопрос: «Истинно А или ложно?»

Теперь подумайте, что сейчас сказано. Для проверки полноты аксиом мы должны ни много ни мало как доказать или опровергнуть любую мыслимую теорему. Если это проделать, то любая математическая дисциплина будет исчерпана до конца. Исчерпана так же, как игра в «крестики-нолики».

Очевидно, наше требование нереально.

Даже в такой сравнительно простой системе, как шашки, мы не можем точно исследовать основную теорему и ответить на вопрос: каков должен быть результат партии при идеальной игре партнеров?

Тем более мы не знаем, как обстоит дело в шахматах.

И тем более мы не можем предусмотреть и проанализировать все теоремы геометрии, арифметики или вообще любой математической дисциплины.

Посему всю проблему полноты аксиом необходимо формулировать совершенно иначе.

Здесь мы не в состоянии погружаться в глубины высшей математической логики, и поэтому о проблеме полноты «во всей ее полноте» мы ничего не скажем.

Я могу лишь привести красивую и непонятную фразу: система аксиом полна, если любые две ее интерпретации, имеющие реальное содержание, изоморфны.

Причем в порядке рекламы можно добавить, что за красивыми звуками скрыт еще более красивый смысл.

Идея изоморфизма, введенная Гильбертом, одна из самых изящных находок начала XX столетия.

Но что-либо говорить об изоморфизме мы не будем.

Простой же пример, когда было ясно видно, что система аксиом неполна, уже был приведен, и вероятно, читатели без труда смогут придумать еще несколько аналогичных примеров.

Яснее на первый взгляд положение с требованием независимости (или непротиворечивости)^[6].

Снова сформулируем требования независимости совершенно строго.

Пусть у нас есть какая-то группа аксиом — Σ (эта буква обычно используется для обозначения суммы).

Пусть есть какое-то утверждение А.

И противоположное утверждение Ā^[7].

Тогда А независимо от группы аксиом Σ, если ни само А, ни противоположное утверждение Ā им не противоречит.

Иначе говоря, с группой аксиом Σ совместимо как суждение А, так и противоположное суждение Ā.

Все это очень элементарная логика. Но она, вероятно, непривычна. И потому может показаться очень сложной.

Поэтому поясним все на примере с пятым постулатом.

Мы хотим доказать его независимость от остальных аксиом геометрии Евклида («пятый постулат» сейчас — пример нашего суждения А). Мы высказываем утверждение, противоположное пятому постулату («суждение Ā»). Например, мы утверждаем: через данную точку к данной прямой можно провести по крайней мере две параллельные прямые. (Для «популярности» постулат, противоположный пятому, будем записывать вверх ногами «

».)

Далее мы доказываем, что «

» не противоречит остальным аксиомам геометрии.

Это значит, что как бы далеко и широко мы ни развили возможные следствия, мы никогда не придем к логическому противоречию.

Теперь — внимание! До сих пор все очень ясно.

Но, спрашивается, как убедиться, что мы никогда не сможем прийти к противоречию?

Пусть мы доказали двадцать непротиворечивых теорем.

Это не гарантирует нам, что противоречие не выскочит в двадцать первой.

Доказав сто, можно ожидать подвоха в сто первой…

Доказав тысячу… Короче: ясно, что на этом пути никакого строгого доказательства непротиворечивости получить нельзя. Получить же его необходимо. Без этого задача не решена. Но как будто это абсолютно безнадежная задача. Не видно даже других мыслимых путей, кроме того, что мы описывали. А наш путь заведомо и абсолютно безнадежен.

И здесь остановимся и еще раз потребуем внимания.

Во второй половине XIX века, примерно через 20 лет после смерти Лобачевского и Гаусса, был предложен строгий путь доказательства непротиворечивости неевклидовой геометрии. Путь неожиданный и невероятный.

Мы расскажем о нем позже.

Но ни Лобачевский, ни Гаусс не подозревали о возможностях такого сорта. Запомним: сама возможность принципиально новых идей, с помощью которых можно доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в то время почти столь же невероятна, как возможность определения химического состава звезд.

Столь же немыслима, как опровержение механики Ньютона.

Столь же непредставляема, как термоядерная реакция.

Еще нет ясного представления об аксиоматике. Еще во всех определениях и аксиомах геометрии полный беспорядок, оставшийся в наследство от Евклида.

Почти все из того, что было написано выше, математики еще не сформулировали для себя.

Лишь гениальный Бояи нащупывает правильный путь. Но, боюсь, даже Гаусс не воспринимает полностью его идей.

Есть только полуинтуитивное представление о понятиях независимости и непротиворечивости.

Но тогда…

Тогда ясно, что логически доказать «независимость пятого постулата» вообще невозможно. Как далеко ни протянется непротиворечивая цепочка теорем, полученных при помощи «

», всегда останется возможность, что противоречие скрыто глубже. Останется ощущение, что мы не добрались до него.

Можно, конечно, «с отчаяния» прибегнуть к «чуждому» для математики пути — подглядеть, что дает эксперимент. Окажись, что во вселенной осуществляется «неевклидова геометрия», — вопрос о непротиворечивости отпал бы сам по себе.