Евклид как бы нарочито подталкивает своих коллег. Не обольщайтесь, не ищите утешения в более приятных эквивалентах моего постулата, не пытайтесь скрыть изъян. Все равно вы не добьетесь той желанной самоочевидности, которая требуется от аксиом. Этот постулат не что иное, как «обратная теорема о параллельных». Его надо доказать при помощи остальных постулатов. Или будет разрушена красота и гармония геометрии. Я не смог разжаловать этот постулат в ранг теоремы. Попробуйте вы.

Короче говоря, я полагаю, что Евклид разобрался в сути лучше и глубже, чем подавляющее большинство его комментаторов. Они либо попадали под гипноз собственных анализов и убеждали себя, что постулат доказан, либо пытались сформулировать какой-либо эквивалентный, «более естественный» постулат. Евклид же, очевидно, ясно понимал, что первой задачи ему решить не удалось, а искать «очевидные» формулировки — означает загонять болезнь вглубь.

Во всей этой довольно стройной версии есть, конечно, слабое место. Если были какие-то исследования, то непонятно, почему Евклид их не опубликовал. Это неясно и автору. Возможно, он считал неудобным публиковать теоремы, не приводящие к каким-то результатам. Может быть, он, как и многие крупные ученые, не любил публиковать незавершенных работ. Не напечатал же Гаусс свои исследования по неевклидовой геометрии! А быть может, какая-то рукопись и существовала.

Как видите, у меня есть очень удобная отговорка. Действительно, сведения наши очень скудны.

Практически наиболее солидный древний источник по истории пятого постулата — это комментарий Прокла к Евклиду. А это, как должен помнить читатель, уже V век нашей эры.

Здесь мы прощаемся с Евклидом. И, расставаясь, скажем ему несколько теплых слов.

Он был хороший, более того — блестящий математик. И великий педагог. Невольно хочется верить, что он был столь же хороший человек, что прожил он долгую и счастливую жизнь в своей солнечной Александрии, распивая с друзьями в минуты отдыха сладкое хиосское либо терпкое кипрское — разбавленное, разумеется: пьянство — порок скифов, но не эллинов, — посмеиваясь над Птолемеем, поучая учеников, читая Гомера и непрестанно работая до конца дней. И будем верить, что каждодневно он возносил хвалу олимпийским богам за то, что они сделали его геометром.

Приятно думать так. И раз уж никто, за отсутствием данных, не сможет нас опровергнуть, так и будем считать.

На этом… Евклиду, сыну Наукрата, прощальный привет.

Задача поставлена.

Посмотрим, что происходило дальше.

Рассматривается шесть Основных Понятий. А именно. Три Основных Образа (объекта): точка, прямая, плоскость. Три Основных Соотношения: принадлежности (инцидентности), «лежать между» (для точек), движения или совмещения.

I. Аксиомы соединения (сочетания).

1. Через две точки проходит одна, и только одна, прямая.

2. Всякая прямая содержит по крайней мере две точки.

3. Существуют по крайней мере три точки, не расположенные на одной прямой.

II. Аксиомы порядка.

1. Из трех точек, лежащих на одной прямой, одна, и только одна, лежит между двумя другими.

2. Если А и В — различные точки прямой, то существует по крайней мере одна точка С, лежащая между А и В.

3. Если прямая пересекает одну сторону треугольника (то есть содержит точку, расположенную между двумя вершинами), то она либо проходит через вершину противоположного угла, либо пересекает еще одну сторону треугольника.

Используя аксиомы порядка, можно определить очень важные для дальнейшего понятия. А именно: понятия: «отрезок» «полупрямая» (луч), «угол».

III. Аксиомы движения.

Движение у математиков — понятие основное (первичное). Свойства этого математического движения и определяются аксиомами.

1. При заданном преобразовании движения, обозначим его Д, любая точка А преобразуемой плоскости переходит в одну определенную точку А′.

2. При заданном преобразовании движения Д — в любую точку А′ нашей плоскости переходит некоторая ее точка А.

3. При заданном преобразовании движения Д — различные точки А и В переходят в различные точки А′ и В′.

Эти три аксиомы и показывают, что движение — взаимно однозначное преобразование плоскости в самое себя.

4. Последовательное выполнение двух любых преобразований движения Д₁ и Д₂ также есть преобразование движения. Мы будем обозначать его Д₂ · Д₁.

5. Всякое движение Д имеет обратное себе движение Д^–1, такое, что произведение Д^–1 · Д есть движение, оставляющее все точки плоскости на месте, то есть так называемое тождественное преобразование.

Ввиду аксиомы 4 очевидно, что тождественное преобразование (покой) следует рассматривать как частный случай преобразования движения.

Далее идут аксиомы, показывающие, что при движении не происходит «деформации» плоскости.

6. Если движение преобразует концы отрезка АВ в концы отрезка А′В′ то всякая внутренняя точка отрезка АВ переходит при этом во внутреннюю точку отрезка А′В′.

Теперь следует важнейшая аксиома. Без нее невозможно установить понятие равенства фигур.

7. Если А, В и С — три точки некоторой фигуры, не лежащие на одной прямой, то эту фигуру можно переместить так, что:

а) точка А совместится с любой, заранее заданной точкой А′ плоскости;

б) луч АВ совместится с любым, заранее заданным лучом А′В′, исходящим из точки А′;

в) точка С совместится с некоторой точкой С′ в любой, заранее указанной полуплоскости, опирающейся на луч А′В′ (таких полуплоскостей, естественно, две). После этого дальнейшее движение фигуры невозможно.

И наконец, аксиома, показывающая, что зеркальные отражения — частный случай преобразования движения.

8. Существуют движения, переводящие отрезок АВ в ВА, а угол АОВ в угол ВОА.

Эти восемь аксиом определяют все свойства движения, и теперь можно строго ввести понятие равенства, или — учено — конгруентности фигур.

«Фигура S называется равной фигуре S′, если ее можно совместить с фигурой S′ при помощи движения».

Теперь легко можно доказать такие теоремы:

1. Фигура S равна самой себе.

2. Если S равна S′, то и S′ равна S.

3. Если S равна S′, a S′ равна S″, то S равна S″.

Аксиомы планиметрии почти исчерпаны.

Остались:

IV. Аксиома непрерывности (аксиома Дедекинда).

Если все точки прямой разбить на два класса — I и II так, что любая точка класса II лежит правее любой точки класса I, то либо в классе I есть самая правая точка, и тогда в классе II нет самой левой, либо, наоборот, в классе II есть самая левая точка, и тогда в классе I нет самой правой.

Грубо говоря, эта аксиома означает, что в прямой нет разрывов — «пустых мест».

Ее необходимо ввести, чтобы было возможно построить строгую теорию измерения отрезков.

И наконец:

V. Аксиома параллельности.

Ко всякой прямой А через всякую точку, не лежащую на этой прямой, можно провести одну, и только одну, прямую, не пересекающую прямую А.