Британский математик Брук Тейлор (1685–1731) вычислил приближённое значение √2 при помощи последовательности сумм:

Члены этой последовательности постепенно сходятся к √2 поочерёдно слева и справа, что можно видеть в следующей таблице, где представлены значения первых девяти членов.

Таким образом, начав с 1 — оценки √2 слева и 1,5 — оценки справа, мы постепенно приближаемся к истинному значению этого числа. Речь идёт о бесконечных последовательностях, которые постепенно приближаются к истинному значению √2, однако утверждать, что √2 — конкретное число, означает признать существование актуальной бесконечности.

Если кто-то, подобно древним грекам и многим другим математикам различных эпох, утверждает, что иррациональных чисел не существует, то можно быть уверенным, что он, пусть и неявно, отрицает существование актуальной бесконечности.

Квантовый скачок

Рассмотрим, как можно увязать между собой нечто бесконечно большое (бесконечное продолжение прямой) и бесконечно малое (деление на бесконечно много частей). Допустим, что даны две параллельные прямые r и r'.

Обозначим на первой точку Р, которую будем использовать как начало отсчёта. Теперь отметим на второй прямой точку Q, расположенную, например, на перпендикуляре, проведённом к r через точку Р. Угол между отрезком PQ и r' равен 90° (прямой угол). Переместим точку Q, которая находится на прямой r', вправо.

Заметим, что угол ОС изменился, и по мере того, как мы перемещаем точку Q всё дальше вправо, он постепенно уменьшается. Очевидно, что чем дальше точка Q, тем меньше угол α. Бесконечное продолжение прямой, вызванное движением точки Q, неразрывно связано с непрерывным уменьшением угла до сколь угодно малых значений. Если говорить простым языком, можно сказать, что одно становится бесконечно большим, а другое одновременно — бесконечно малым. Здесь важно отметить следующее: точка Q смещается вправо по прямой r' непрерывно, и угол уменьшается также непрерывно.

Рассмотрим ситуацию с иной точки зрения. Будем уменьшать угол и наблюдать за тем, как точка Q удаляется в бесконечность. Расстояние от точки Q до прямой r сохраняется и равно расстоянию между двумя параллельными прямыми. Ключевой вопрос звучит так: что произойдёт, когда угол, образуемый отрезком PQ и прямой r, станет равен нулю? Ответ таков: точка Q станет бесконечно удалённой, причём не произвольной, а такой, в которой обе прямые сойдутся. Пока что всё в порядке, но переход к бесконечности вновь оказался болезненным. Потенциальная бесконечность, которую мы себе представляли, стала актуальной бесконечностью, и мы получили удивительный результат: расстояние от точки Q до прямой r вдруг стало равным нулю.

Можно ли считать этот эксперимент исключительно мысленным? Мы никогда не увидим, как точка Q становится частью прямой r, и принимаем как данность, что после этого прыжка в бесконечность создаётся принципиально новая ситуация.

Современная физика предлагает модель, в которой этот мысленный эксперимент совершенно реален. Когда Планк сформулировал основы квантовой механики, он предложил сценарий, весьма похожий на только что описанный. В модели атома, принятой в современной физике, электрон, который вращается по орбите с энергетическим уровнем r', может совершить квантовый скачок и перейти на иной энергетический уровень r. Более того, этот переход совершается не последовательно, а скачкообразно. Можно сказать, проведя параллель с нашим примером, что электрон непрерывно накапливает энергию аналогично тому, как непрерывно уменьшается величина угла α. В какой-то конкретный момент электрон (наша точка Q) переходит с одного энергетического уровня на другой. В этом смысле можно признать правоту Зенона, пусть это и приведёт к противоречию. Не существует движения в том смысле, как мы его понимаем, которое перемещает электрон с одной орбиты на другую. Существуют два различных физических состояния, в которых потенциальная и актуальная бесконечность удивительным и загадочным образом сосуществуют в пространстве и времени.

Глава 3. Встречи на бесконечности

Первыми, кто «увидел» бесконечность в пространстве, были не философы и не геометры, а художники Возрождения. Свободные от строгих ограничений церкви, благодаря знакомству с математическими трудами древних греков они открыли новый путь в математике, где бесконечность перестала быть чем-то запретным, носящим на себе печать абсолютного зла.

Трёхмерное изображение

Когда говорят о Возрождении, мы сразу представляем себе многочисленные произведения живописи, скульптуры, архитектуры, новые технологии, но практически ничего, что имело бы отношение к математике. Причина в том, что важнейшей задачей для представителей этого периода было восстановление уже известного.

В Средневековье труды греков и арабов, в которых описывались фундаментальные основы алгебры и геометрии, были преданы забвению (или задвинуты на дальние полки библиотек немногочисленных монастырей). Однако именно в геометрии служители искусства эпохи Возрождения, особенно живописцы, добились выдающихся результатов. Важную роль сыграло геометрическое воплощение бесконечности.

Как правило, представители Возрождения владели различными знаниями, относившимися не только к искусству, но и к науке. Их работы часто оплачивали меценаты или короли, которые заказывали картины, скульптуры, музыкальные произведения, здания или сокровищницы для хранения королевских ценностей и даже подробные исследования, посвящённые траектории снарядов.

Художники Возрождения унаследовали от прошлой эпохи живопись религиозного характера, в которой существовали жёстко определённые правила относительно использования цветов и изображения фигур. Так, святые должны были изображаться на позолоченном фоне как символ того, что они находятся на небесах.

Большинство цветов, равно как и расположение и размеры персонажей, имели особое значение, связанное с местом персонажей в иерархии. Однако наиболее важным было то, что все герои изображались в очевидно двумерном пространстве: они были плоскими, а стиль живописи напоминал древнеегипетский. Безусловно, это делалось умышленно и имело символическое значение: определённых святых нельзя было изображать реалистично, так как они противопоставлялись всему земному.

Художники Возрождения не были связаны строгими церковными нормами, и первые попытки воспользоваться этой свободой происходили в сфере максимально достоверного изображения реальности. Иными словами, художники попытались создать объёмное изображение. Для этого начали вырабатываться новые техники рисунка и живописи, позволявшие передать ощущение глубины с помощью света, тени и цвета. Тени, например, указывали на положение объектов, а цвета становились более тусклыми по мере удаления от переднего плана. Все эти приёмы помогали передать ощущение глубины, но важнее всего было, что сам рисунок создавался в соответствии с чёткими геометрическими правилами. Поэтому неудивительно, что именно в живописи математические открытия проявились особенно ярко.