В результате изучение физических явлений стало сводиться к поиску дифференциальных уравнений, описывающих эти явления. После того как Ньютон открыл знаменитое дифференциальное уравнение «сила равна произведению массы на ускорение», описывающее движение систем точек и твердых тел, швейцарский математик Леонард Эйлер (1707–1783) определил систему дифференциальных уравнений, описывающих движение непрерывных сред, например воды, воздуха и других потоков, в которых отсутствует вязкость. Впоследствии физик и математик Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) изучил звуковые волны и сформулировал уравнения акустики, а Жан-Батист Жозеф Фурье (1768–1830) рассмотрел потоки распределения тепла и описал их с помощью уравнения. Математический анализ, по мнению Фурье, был так же обширен, как и сама природа.
В XVII–XIX веках физики последовательно расширяли математическую картину мира, предлагая все новые дифференциальные уравнения для изучения самых разных областей, к примеру уравнения Навье — Стокса, описывающие движение вязкой жидкости, или уравнения Максвелла, характеризующие электромагнитное поле. Всю природу — твердые тела, жидкости, звук, тепло, свет, электричество — стало возможно описать с помощью дифференциальных уравнений. Однако найти уравнения, характеризующие то или иное явление природы, и решить их — две принципиально разные задачи.
Существуют два типа дифференциальных уравнений: линейные и нелинейные.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если сумма двух его решений также будет его решением. В линейном уравнении ни сама неизвестная функция, ни ее производная не возведены в степень, отличную от нуля или единицы. Линейные дифференциальные уравнения описывают события, в которых действие совокупности причин равно совокупному действию этих причин по отдельности. В нелинейных уравнениях, напротив, подобное соотношение между причинами и следствиями не наблюдается, и совокупность двух причин может привести к неожиданным последствиям. Как вы увидите позднее, нелинейности всегда сопутствует хаос.
* * *
НЬЮТОН И ПЕРВОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
Самое знаменитое дифференциальное уравнение, несомненно, принадлежит Ньютону: сила равна произведению массы на ускорение. В виде символов это уравнение записывается так:
F = m∙a где а = dv/dt — (ускорение есть отношение дифференциалов скорости и времени, то есть производная скорости по времени). Рассмотрим еще два простых примера:
(dy/dx) + y = 0
Это линейное дифференциальное уравнение, однако
(dy/dx) + y2 = 0
уже будет нелинейным, так как в этом случае неизвестная функция у возведена в степень, отличную от нуля или единицы.
* * *
Теория линейных дифференциальных уравнений довольно быстро была разработана полностью. А вот с теорией нелинейных дифференциальных уравнений все обстояло иначе, и нелинейные задачи, например уравнение колебаний маятника, решаются путем приведения уравнений к линейному виду, то есть путем устранения всех неудобных членов. Иными словами, для данного нелинейного дифференциального уравнения решалось похожее линейное дифференциальное уравнение, а полученные решения использовались как приближенные решения исходного уравнения.
Этот метод был назван методом возмущений. Вскоре стала понятна его неэффективность, однако прошло еще много времени, прежде чем нелинейным дифференциальным уравнениям стало уделяться примерно такое же внимание, что и линейным.
Одной из нелинейных задач, не дававших покоя физикам и математикам с XVII века, была задача небесной механики, связанная с моделированием Солнечной системы — задача n тел. Необходимо определить траекторию движения в пространстве для n тел разной массы, взаимодействующих по закону тяготения.
Несмотря на простую формулировку, решить эту задачу совсем не просто. Ньютон решил геометрически задачу двух тел для двух сфер, движущихся под действием взаимного притяжения, и привел решение в «Математических началах натуральной философии». В 1734 году Даниил Бернулли (1700–1782) привел аналитическое решение этой задачи в статье, удостоенной премии Французской академии наук, а во всех подробностях задача была рассмотрена лишь в 1744 году Эйлером, в труде «Теория движения планет и комет».
Портрет Эйлера.
«Читайте, читайте Эйлера — он учитель всех нас!»
* * *
НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА
Если обозначить через θ угол наклона маятника относительно вертикали, то нелинейное дифференциальное уравнение колебаний маятника будет записываться так: d2θ/dt2 + sin θ = 0.
Для малых колебаний это уравнение можно заменить линейным, использовав в качестве приближенного значения тригонометрической функции sin θ сам угол θ. Полученное уравнение d2θ/dt2 + sin θ = 0 решить нетрудно: это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, так как в нем фигурирует вторая производная, однако ни вторая производная, ни θ не возводятся в степень, большую 1.
Приведем еще один пример нелинейного дифференциального уравнения: m∙(dv/dt) — v2 = mg, где g — ускорение свободного падения (9,8 м/с2). Это уравнение описывает движение снаряда в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату его скорости (v2 и будет нелинейным членом уравнения).
* * *
После того как задача n тел была решена для n = 2, физики и математики XVIII и XIX столетий приступили к решению этой задачи для n = 3, чтобы описать относительное движение Солнца, Земли и Луны. Были начаты две параллельные исследовательские программы: в рамках первой велся поиск общих приближенных решений с помощью метода возмущений, в рамках второй — поиск точных частных решений. К примеру, Лагранж решил задачу трех тел, рассмотрев систему, включающую Солнце, Юпитер и астероид Ахиллес. Самый знаменитый труд Лагранжа,
«Аналитическая механика», стал достойным завершением работ Ньютона по механике. Вообще этот математик считал Ньютона счастливейшим из ученых: Вселенная всего одна, а ее математические законы открыл именно он.
В то же самое время возник еще один вопрос, тесно связанный с задачей n тел, — вопрос об устойчивости Солнечной системы, которая в то время представляла собой систему из семи тел. Ответ на этот вопрос напрямую зависел от решения задачи n тел. Ньютон знал, что для задачи двух тел можно привести точное решение для любого промежутка времени, однако при рассмотрении трех тел все обстояло иначе.
Хотя взаимное притяжение планет слабее, чем их притяжение к Солнцу, этими силами нельзя пренебречь, поскольку они могут сместить планету с орбиты или даже вытолкнуть ее за пределы Солнечной системы.
В своем труде «О движении тел по орбитам» (De motu corporum in gyrum), изданном в 1684 году, Ньютон писал, что планеты не движутся по эллипсам и не проходят по одной и той же орбите дважды. Он признавал, что задача о расчете траекторий движения планет на произвольный интервал времени неподвластна человеческому разуму.
Лист рукописи «О движении тел по орбитам» Исаака Ньютона.
Оставался вопрос: устойчива ли Солнечная система? Не сойдут ли ее планеты в будущем со своих орбит? По мнению Ньютона, если планеты Солнечной системы постепенно сходили с орбит, требовалось радикальное решение: рука Бога периодически должна подталкивать каждую планету внутрь орбиты, восстанавливая равновесие. Лейбниц возражал Ньютону: Создателя нельзя уподоблять часовщику, который время от времени подводит часы.