Но нужна ли вся эта математика? Да, нужна, нравится вам это или нет. Как это ни парадоксально, простая динамика свидетельствует о заболевании, а сложная (хаотическая) динамика — синоним здоровья. Заболевание предполагает потерю сложности, а рост упорядоченности приближает нас к смерти. Появление упорядоченности сердечного или мозгового ритма у тяжелобольных пациентов — опасный симптом. Если измерить электрические сигналы мозга с помощью электродов, то полученная кривая будет казаться хаотической (непериодической) и фрактальной (то есть обладающей самоподобием). Если мы применим метод Рюэля — Такенса для восстановления аттрактора с запаздыванием, то увидим, что у здоровых пациентов в рассматриваемой системе будут наблюдаться странные аттракторы, у пациентов с заболеваниями головного мозга — квазипериодические циклы.
Наконец, следует отметить, что некоторые органы человека подобны фракталам.
Так, бронхи имеют практически фрактальную структуру со множеством ветвлений. Возможно, происходит это потому, что фракталы прекрасно позволяют перейти от одной размерности к другой в силу своей дробной размерности. Бронхи, имеющие фрактальную размерность, примерно равную двум, — идеальный переход от трехмерного дыхательного горла (его размерность равна 3) к плоскости диффузии (ее размерность равна 2), в ходе которого кислород из воздуха поступает в кровь.
Если ритмы мозговой активности беспорядочны и описывают странный аттрактор (слева), то человек здоров. Если же ритмы мозговой активности становятся периодическими и возникает предельный цикл (справа), это означает, что пациент испытывает приступ эпилепсии.
(источник: Корнелис Ян Стам, «Нелинейный динамический анализ ЭКГ и МЭГ: обзор новой области», журнал Clinical Neurophysiology 116/10, 2005).
* * *
ПОСЛЕДНИЙ РУБЕЖ: КВАНТОВЫЙ ХАОС
Может ли недетерминированное поведение субатомных частиц быть результатом непредсказуемости, которую мы связываем с хаосом? Нет, не может. В теории хаоса рассматриваются нелинейные уравнения, а вся квантовая механика основана на линейном уравнении — волновом уравнении Шрёдингера. Следовательно, квантовый эффект бабочки невозможен, так как уравнения квантовой физики линейны, а для возникновения хаоса необходима нелинейность.
При переходе от классической хаотической системы к соответствующей квантовой хаос исчезает, оставляя след в виде связанных между собой флуктуаций. Изучение этих следов получило название квантовой хаологии, или постмодернистской квантовой механики. Классическая механика является детерминированной и вместе с тем хаотической; квантовая механика, напротив, имеет вероятностную природу и вместе с тем отличается упорядоченностью. Следовательно, квантовая механика избавила нас от проклятия хаоса ценой того, что электроны, фотоны и прочие квантовые частицы кажутся нам безумными.
* * *
Пьер-Симон Лаплас был уверен, что система, описываемая законами Ньютона, должна быть предсказуемой. Однако оказалось, что динамическая система, подчиняющаяся законам Ньютона, может стать хаотической. Таким образом, одним из самых важных результатов теории хаоса стало опровержение тождества «детерминизм = предсказуемость».
Возможно, причина, по которой на протяжении трех столетий детерминизм отождествлялся с предсказуемостью, заключалась в том, что обычно рассматривались только линейные системы, а нелинейные оставались вне поля зрения ученых. Таким образом, вся Вселенная казалась подобной игрушечному механизму, столь же предсказуемому, как полет пушечного ядра или работа часового механизма.
Как это ни парадоксально, хаос детерминирован, он создается по строгим правилам, но накладывает фундаментальные ограничения на возможности составления прогнозов. Если мы допустим небольшую ошибку при измерении начального состояния системы (а это происходит постоянно, ведь в реальной жизни мы имеем дело с округленными и приближенными значениями), то в прогнозе, составленном по уравнению динамики, эта ошибка возрастет. Таким образом, прогнозированию препятствует сама реальность (любое измерение имеет конечную точность) и хаотическая структура уравнения динамики (изначальная ошибка возрастает экспоненциально).
Непредсказуемый хаос всегда остается детерминированным: если в две практически идентичные хаотические системы подать один и тот же входной сигнал, то выходной сигнал систем будет одинаковым, хотя и непредсказуемым. В качестве примера случайного и абсолютно детерминированного процесса можно привести бросок игральной кости. Сложно предсказать только одно — какой именно гранью вверх упадет кубик, поскольку любое незначительное изменение положения и скорости кубика повлияет на результат. Здесь источником случайности является выбор начальных условий. Если мы не можем полностью контролировать начальные условия, то и прогноз составить нельзя.
Две изначально близкие траектории в аттракторе Лоренца отдаляются друг от друга. Обе траектории берут начало в одной и той же окрестности (обведена кружочком), однако по прошествии определенного времени они окажутся в разных частях аттрактора.
Существование хаоса ставит очень серьезный философский вопрос. Верификация научной теории заключается в составлении прогнозов и их последующей проверке.
Но для хаотических явлений в принципе невозможно делать прогнозы в среднесрочном или долгосрочном периоде. Предположим, что математик описывает некий физический процесс с помощью уравнений, демонстрирующих хаотическую динамику, то есть динамику, чувствительную к начальным условиям, в которой существуют случайные траектории, сплетенные с периодическими. Если наш математик с помощью классических математических методов попытается предсказать, каким будет состояние системы для данных начальных условий по прошествии длительного промежутка времени, он придет к выводу: «Я могу составить прогноз только в случае, если вы укажете положение начальной точки с бесконечно большой точностью». Так как на практике это невозможно, определить поведение системы в долгосрочном периоде нельзя. Ни один физик не рискнет работать с подобными уравнениями, ведь полученные результаты будут абсолютно случайными. Именно это произошло с метеорологом Эдвардом Лоренцем и астрофизиком Мишелем Эно, работы которых изначально не были оценены другими учеными.
Философский смысл проблемы таков: поскольку хаос подразумевает чувствительность к начальным условиям, неизбежные ошибки при определении начальных условий будут возрастать экспоненциально, и в результате практические прогнозы, составленные на основе хаотической модели, обязательно будут ошибочными. Возникает вопрос: как можно использовать моделирование, если в общем случае ошибка будет очень велика?
Ответ таков: хаотические системы могут оказаться невероятно полезными при прогнозировании, однако сам хаос по своей природе накладывает серьезные ограничения на возможность составления прогнозов.
Однако динамику хаотических систем можно спрогнозировать в краткосрочном периоде. А после этого, сколь бы точно мы ни измерили начальные данные, мы неизбежно допустим ошибку, которая впоследствии существенно возрастет, и с определенного момента динамика хаотической системы станет непредсказуемой.
Но эта непредсказуемость не проявляется мгновенно. Если составить прогнозы в среднесрочном и долгосрочном периоде нельзя, то, получается, наука бесполезна? Вовсе нет, ведь помимо количественных оценок существуют и качественные. Процитируем Пуанкаре, который в свое время объяснил суть вопроса с присущей ему четкостью: