Если бы теории, отрицающие идеальное общее бытие и заменяющие его единичными реальными наглядными предметами, были верны, то непонятно было бы, почему знание о формальном общем идеальном бытии, по крайней мере в некоторых науках, имеет абсолютно точный и предельно достоверный характер, бесконечно превосходный в сравнении с знанием о единичных реальных вещах. Но этого мало, нередко это знание содержит в себе абсолютно достоверные сведения о таких законосообразностях, которые совершенно неосуществимы в реальных наглядных предметах, поскольку они берутся в их наглядности, отвлеченной от идеальной основы. Таковы, напр., идеи точки и линии и закон, гласящий что между каждыми двумя точками всегда есть ещё точка. Если я мыслю точку как границу линии, не имеющую никакого протяжения, и линию – как одномерную границу поверхности, то из сущности этих предметов вытекают с абсолютною необходимостью упомянутые законы. Однако иметь такую точку и линию в чувственном опыте как наглядную данность нельзя.

Юм, отвергающий идеальное бытие, говорит, что мыслить точку – это значит представлять себе minimum visibile *; иными словами, для него точка есть едва заметный, стоящий на границе видимого комочек.

Соответственно этому и линия для него должна быть нитью столь тонкою, что она находится у предела видимого и осязаемого. Условимся называть такие точки и линии словами «точка-шар», «линия-цилиндр» а точки и линии, имеемые в виду Евклидом, словами «точка-граница» «линия-граница». Очевидно, что если бы точка и линия были шаром и цилиндром, то нельзя было бы утверждать, что между каждыми двумя точками всегда есть ещё точка и что через точку можно провести бесчисленное множество линий. Или, вернее, можно сохранить утверждение этих законов, но для этого необходимо мыслить, что между двумя шарами вставляются шары, отчасти налегающие друг на друга, и что через шар проходят цилиндры, сдвинутые в отношении друг к другу.

Чтобы мыслить при этом возможность вставления бесконечного числа шаров, нужно мысленно иметь в виду центр шара уже не как шар, а как точку-границу и отдавать себе отчёт в том, что на линии в промежутке между двумя шарами есть бесконечное-множество точек-границ и каждая такая точка может быть центром шара, вследствие чего отличных друг от друга, хотя и налегающих отчасти друг на друга шаров можно вставить бесчисленное множество. Итак, оказывается, мыслить упомянутый закон можно лишь постольку, поскольку в состав идеи «точка-шар» входит идея «точка-граница». Точно так же мыслить бесчисленное множество линий-цилиндров, проходящих через точку-шар, удаётся лишь постольку, поскольку в составе идеи «линия-цилиндр» есть идея «линия-граница». Наблюдая такие необходимые взаимовключенности идей, приходится признать следующий закон строения пространства: трёхмерный объём необходимо содержит в себе такой аспект, как двухмерные поверхности-границы, поверхность необходимо заключает в себе одномерные линии-границы, а линия – точки-границы. Само собою разумеется, и трёхмерный объём, в свою очередь, есть граница четырехмерного объёма.

Современные математики-философы, опасаясь, что такие предметы как точка-граница, не «существуют», и не желая в то же время оставаться на почве грубого эмпиризма, удовлетворяющегося точкою, как minimum visibile, прибегают к сложному пониманию точки, линии, поверхности как ряда уменьшающихся, включенных друг в друга объёмов.

Таково, напр., учение Уайтхеда о точке и моменте времени, развитое им согласно «принципу экстенсивной абстракции». Простое изложение этого учения дано Вгоаd'ом в его книге «Scientific Thought»; им главным образом я и воспользуюсь [CCLXXXI].

Броод следующим образом вводит читателя в круг идей Уайтхеда.

Точки, имеющие положение в пространстве, но не имеющие объёма, не могут образовать сплошности; далее, они не суть части пространства в том смысле, как объёмы суть части пространства; наконец, они не могут быть предметом восприятия, между тем наука, даже и вырабатывая понятия, стремится иметь дело с воспринимаемыми объектами и их воспринимаемыми отношениями. Ввиду этих недостатков традиционного понятия точки следует выработать другое понятие её, не заботясь о том, какова при этом будет «внутренняя природа понятия», так, как для науки важна не эта природа, а то, чтобы предмет, называемый точкою, удовлетворял следующим условиям: 1) между двумя точками должны существовать отношения, требуемые геометриею; 2) точки должны находиться в таком отношении к поверхностям и объёмам чтобы имело смысл сказать, что поверхности и объёмы могут быть исчерпывающим образом разложены на группы точек (exhaustively analysed into sets of points). Сущность (entity), отличная от точки, имеющей положение без объёма, сохраняет для науки то же значение, если только она сохраняет те же отношения. Так, напр., в математике Ö2 прежде определяли как предел ряда чисел, квадрат которых меньше чем 2. Но неизвестно, существует ли такое число за пределами этого ряда; поэтому теперь определяют иррациональное число Ö2 как сам этот ряд чисел. Такой ряд, наверное, существует; такое число обладает сложною внутреннею структурою, но формально-логические свойства его те же что и у простого числа.

Уайтхед подвергает такому же преобразованию и понятие точки.

Согласно старому определению, точка есть предел ряда уменьшающихся объёмов, включенных друг в друга. Уайтхед, пользуясь сплошностью (continuity) пространства, т. е. тем, что всякий объём содержит в себе меньшие объёмы, определяет точку как сам этот ряд уменьшающихся объёмов. Такой ряд Уайтхед называет «абстрактивным классом». Поскольку речь идёт о физических процессах, Уайтхед имеет в виду пространственно-временные формы, т. е. формы событий (events). Но для простоты он поясняет свою мысль на примерах пространственной формы, обособленной от времени, т. е. посредством пространственных диаграмм. «Возьмем, – говорит он, – ряд квадратов, концентрических и расположенных подобно. Пусть длины сторон ряда квадратов, расположенные в порядке уменьшающейся величины, будут hi h»… Ья

Тогда каждый квадрат объёмлет все последующие квадраты ряда. Далее пусть ^Jo„=0;

именно пусть hn стремится к нулю по мере того, как n возрастает до бесконечности. Тогда эта группа квадратов образует абстрактивный класс.

Некоторые математики предлагают пользоваться для этой диаграммы не квадратами, а кругами, чтобы уменьшение объёма со всех сторон было равномерным.

«В другом случае возьмем ряд прямоугольников, концентрических и расположенных подобно»; пусть две противоположные стороны этих прямоугольников сохраняют одну и ту же величину, а две другие уменьшаются, стремясь к нулю по мере возрастания n до бесконечности. Эта группа также образует абстрактивный класс.

Очевидно, группа квадратов, описанных в первом примере, конвергирует к точке, а группа прямоугольников – к прямой линии. «Точно так же, пользуясь трёхмерными объёмами, можно диаграмматически изобразить абстрактивные классы, конвергирующие к поверхностям» [CCLXXXII].

В понимании точки, данном Уайтхедом, нет грубо очевидного логического круга, как это может показаться, если придирчиво критиковать употребляемые им слова, напр. слово «концентрический». Ряд объёмов конвергирующих к одной точке, может быть определен не отношением их к этой точке, недоступной восприятию, а отношением членов ряда друг к другу. Таким образом, говорит Броод, здесь понятия науки определяются через доступные восприятию объекты и их воспринимаемые отношения [CCLXXXIII].